Имеется ли гамильтониан КТП, существует ли уникальный лагранжиан?

Рассмотрим КТП в одном пространственном измерении, определяемом следующей плотностью гамильтониана:

ЧАС "=" − я ф † ∂ ∂ Икс ф + В ( ф † , ф )

где ф является скалярным полем, которое может быть или не быть релятивистским.

Мне кажется, что для любой постоянной а , мы можем получить указанную выше плотность гамильтониана, выполнив обычное преобразование Лежандра для следующей плотности лагранжиана:

л "=" а я ф † ∂ ∂ т ф + я ф † ∂ ∂ Икс ф − В ( ф † , ф )

Вопрос ты е с т я о н . Если я хочу выполнять вычисления с использованием формализма интеграла по путям, какой правильный лагранжиан использовать? Или все они приводят к одним и тем же физическим результатам? (Если да, то какой конкретный лагранжиан более удобен?)

С о м м е н т . Я понимаю, что лагранжиан никогда не бывает единственным, даже классически. Однако указанная неоднозначность представляется более существенной, чем просто добавление полной производной.

Является ли ваш лагранжиан лоренц-инвариантным?
@RobinEkman: Не ОП, но этот вопрос пришел мне в голову. Что делать, если лагранжиан, полученный преобразованием Лежандра, не является лоренц-инвариантным?
@RobinEkman Примеры, которые я имею в виду, нерелятивистские, но было бы неплохо понять ответ на этот вопрос как в нерелятивистском, так и в релятивистском случаях.
@RobinEkman Интересно, намекаете ли вы на следующий возможный ответ на вопрос: «Все лагранжианы, чьи преобразования Лежандра дают правильный гамильтониан, дадут одни и те же физические ответы, но в релятивистских условиях удобно принять лагранжиан равным Лоренц-инвариант».

Ответы (1)

I) Прежде чем мы перейдем к квантованию и интегралам по траекториям, уже есть проблемы на классическом уровне. Преобразование Лежандра не является корректным без знания CCR . Например, если CCR для комплексного бозонного скаляра ф ^ и ф ^ † равна нулю, это означало бы, что плотность гамильтониана ОП ЧАС является чисто потенциальным членом без кинетических членов. Тогда преобразование Лежандра в формулировку Лагранжа стало бы сингулярным.

II) Вот нетривиальный пример. Вместо этого предположим, что CCR для комплексного бозонного скаляра ф ^ и ф ^ † читает

(1) [ ф ^ ( Икс , т ) , ф ^ † ( у , т ) ]   "="   ℏ 1   дельта ( Икс − у ) ,

и другие CCR исчезают. Эквивалентно в скобках Пуассона

(2) { ф ( Икс , т ) , ф * ( у , т ) }   "="   − я дельта ( Икс − у ) .

Мы можем расширить комплексное скалярное поле

(3) ф   "="   ( ф 1 + я ф 2 ) / 2

в двух полях вещественных компонентов ф а , а "=" 1 , 2 . Тогда CCR (2) становится

(4) { ф 1 ( Икс , т ) , ф 2 ( у , т ) }   "="   дельта ( Икс − у ) .

Вывод: мы можем определить ф 2 как импульс для ф 1 .

Затем вспомните, что плотность гамильтониана OP (до полного Икс -производная)

(5) ЧАС   "="   я 2 ( ф ∂ Икс ф * − ф * ∂ Икс ф ) + В ( ф , ф * )   "="   1 2 ( ф 1 ∂ Икс ф 2 − ф 2 ∂ Икс ф 1 ) + В ( ф 1 , ф 2 ) .

Тогда соответствующая лагранжева плотность (с точностью до полного т -производная)

(6) л   "="   ф 2 ф ˙ 1 − ЧАС   ∼   я ф * ф ˙ − ЧАС .

[Здесь ∼ символ означает равенство по модулю полных членов производной.] Это преобразование Лежандра (5)-(6) подробно объясняется в этом посте Phys.SE. Отметим, что плотность лагранжиана (6) нетрадиционным образом зависит от импульсной переменной ф 2 . Тем не менее соответствующее действие С "=" ∫ г т   г Икс   л приводит к правильным уравнениям движения и служит отправной точкой для формулировки интеграла по путям.

Очень интересно, спасибо. Интересно, что делать в том случае, если ф является фермионным полем?
Имеется ли гамильтониан КТП, существует ли уникальный лагранжиан?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v