Градиентный коммутатор в теории ϕ4ϕ4\phi^4

Question

Градиентный коммутатор в теории ϕ4ϕ4\phi^4

Хорхе Лавин

В фи четвертой теории плотность гамильтониана равна:

ЧАС "=" \frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ф)^{2} + \frac{1}{2} м^{2} ф^{2} + \frac{λ}{4!} ф^{4}

$\mathcal{H}=\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4$

Теперь я накладываю обычные равновременные канонические коммутационные соотношения для полей ( $\hbar=1$ )

[ф (\vec{Икс}), π (\vec{у})] "=" я {дельта}^{3} (\vec{Икс} - \vec{у})

$[\phi(\vec{x}),\pi(\vec{y})]=i \delta^3(\vec{x}-\vec{y})$

где

π "=" \frac{\partial л}{\partial (\dot{ф})} \equiv \dot{ф}

$\pi=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\dot{\phi})} \equiv \dot{\phi}$

Уравнение движения Гейзенберга для поля - это просто определение сопряженного импульса

\frac{г}{г т} ф (\vec{Икс}, т) "=" π (\vec{Икс}, т)

$\frac{d}{dt}\phi(\vec{x},t)=\pi(\vec{x},t)$

и для $\pi(\vec{x})$ Я должен рассчитать коммутатор (не пишу зависимость от времени)

[ЧАС, π (\vec{Икс}, т)] "=" \int г^{3} {Икс}^{'} [\frac{1}{2} π^{2} ({\vec{Икс}}^{'}) + \frac{1}{2} (\nabla ф)^{2} ({\vec{Икс}}^{'}) + \frac{1}{2} м^{2} ф^{2} ({\vec{Икс}}^{'}) + \frac{λ}{4!} ф^{4} ({\vec{Икс}}^{'}), π (\vec{Икс})]

$[H,\pi(\vec{x},t)]=\int d^3x'\left[\frac{1}{2}\pi^2(\vec{x}')+\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2(\vec{x}')+\frac{1}{2}m^2\phi^2(\vec{x}')+\frac{\lambda}{4!}\phi^4(\vec{x}'),\pi(\vec{x}) \right]$

Первый член дает ноль, третий и четвертый члены дают $i\left(m^2\phi(\vec{x})+\frac{\lambda}{3!}\phi^3(\vec{x})\right)$

Мой вопрос в том, как я могу рассчитать

\frac{1}{2} \int г^{3} {Икс}^{'} [(\nabla ф)^{2} ({\vec{Икс}}^{'}), π (\vec{Икс})]

$\frac{1}{2}\int d^3x' [(\nabla \phi)^2(\vec{x}'),\pi(\vec{x})]$

Поскольку по аналогии с интегралом коммутатора есть коммутатор интеграла, могу ли я написать $\nabla \phi^2=\nabla \phi \cdot \nabla \phi$ а интегрировать по частям? Как я могу показать, что это правда?

Майкл

Вы можете интегрировать по частям, но я бы не стал (проще всего было бы сделать это в формуле для гамильтониана, прежде чем делать коммутатор). Скорее я бы начал с разработки коммутатора для отдельных компонентов градиента:

[\partial_{i^{'}} ϕ ({\vec{x}}^{'}), π (\vec{x})]

$[\partial_{i'} \phi(\vec{x}'), \pi(\vec{x})]$ Посредством чего

\partial_{i^{'}}

$\partial_{i'}$ Я имею в виду

\partial_{x^{'}}, \partial_{y^{'}}, \partial_{z^{'}}

$\partial_{x'},\partial_{y'},\partial_{z'}$ . Обратите внимание, что вы можете вытащить пространственные производные из коммутатора. Вы можете использовать этот результат и некоторые стандартные тождества, чтобы упростить имеющееся у вас выражение.

Хорхе Лавин

\partial_{i^{'}} [ϕ ({\vec{x}}^{'}), π (\vec{x})] = \partial_{i^{'}} i δ^{3} (\vec{x} - {\vec{x}}^{'})]

$\partial_{i'}[\phi(\vec{x}'),\pi(\vec{x})]=\partial_{i'}i\delta^{3}(\vec{x}- \vec{x}')]$ Как

(\nabla_{^{'}} ϕ ({\vec{x}}^{'}))^{2} = \partial_{i} \partial^{i} (x)

$(\nabla_{'} \phi(\vec{x}'))^2=\partial_{i}\partial^{i}(x)$ но я не совсем уверен

Майкл

Ага. Градиент просто выходит. (Это не работает с производными по времени, потому что

\dot{ϕ} = π

$\dot{\phi}=\pi$ , но космические производные не представляют собой ничего особенного.)

Хорхе Лавин

@Michael Brown Извините, я слишком быстро набрал вступление и не смог вовремя отредактировать свой комментарий. Я вижу, что получаю вторую производную от дельты, значит ли это, что при вычислении интеграла я получаю вторую производную без интеграла?

Майкл

Да, вы получаете производную дельта-функции. Давайте внимательно распишем это здесь:

[(\nabla ϕ)^{2} (x), π (y)] = \nabla ϕ (x) \cdot [\nabla ϕ (x), π (y)] + [\nabla ϕ (x), π (y)] \nabla ϕ (x)

$[(\nabla\phi)^2(x),\pi(y)]=\nabla\phi(x)\cdot[\nabla\phi(x),\pi(y)]+[\nabla\phi(x),\pi(y)]\nabla\phi(x)$ . Упрощение:

\nabla ϕ (x) \cdot \nabla_{x} [ϕ (x), π (y)] + \nabla_{x} [ϕ (x), π (y)] \nabla ϕ (x) = 2 \nabla ϕ (x) \cdot \nabla_{x} i δ (x - y)

$\nabla\phi(x)\cdot\nabla_x[\phi(x),\pi(y)]+\nabla_x[\phi(x),\pi(y)]\nabla\phi(x)=2\nabla\phi(x)\cdot\nabla_x i\delta(x-y)$ . Итак, вы видите производную дельта-функции в некотором интеграле:

\int d x f (x) \partial δ (x - y)

$\int \mathrm{d}x f(x) \partial \delta(x-y)$ . Как бы вы с этим справились?

Хорхе Лавин

Это производная от

f (x)

$f(x)$ в отношении

x

$x$ оценивается в

x - y = 0

$x-y=0$ ,

f^{'} (y)

$f'(y)$

Майкл

От интегрирования по частям стоит знак минус

- f^{'} (y)

$-f'(y)$ .

Ответы (2)

Градиентный коммутатор в теории ϕ4ϕ4\phi^4

Вы можете интегрировать по частям, но я бы не стал (проще всего было бы сделать это в формуле для гамильтониана, прежде чем делать коммутатор). Скорее я бы начал с разработки коммутатора для отдельных компонентов градиента: $[\partial_{i'} \phi(\vec{x}'), \pi(\vec{x})]$ Посредством чего $\partial_{i'}$ Я имею в виду $\partial_{x'},\partial_{y'},\partial_{z'}$ . Обратите внимание, что вы можете вытащить пространственные производные из коммутатора. Вы можете использовать этот результат и некоторые стандартные тождества, чтобы упростить имеющееся у вас выражение.
$\partial_{i'}[\phi(\vec{x}'),\pi(\vec{x})]=\partial_{i'}i\delta^{3}(\vec{x}- \vec{x}')]$ Как $(\nabla_{'} \phi(\vec{x}'))^2=\partial_{i}\partial^{i}(x)$ но я не совсем уверен
Ага. Градиент просто выходит. (Это не работает с производными по времени, потому что $\dot{\phi}=\pi$ , но космические производные не представляют собой ничего особенного.)
@Michael Brown Извините, я слишком быстро набрал вступление и не смог вовремя отредактировать свой комментарий. Я вижу, что получаю вторую производную от дельты, значит ли это, что при вычислении интеграла я получаю вторую производную без интеграла?
Да, вы получаете производную дельта-функции. Давайте внимательно распишем это здесь: $[(\nabla\phi)^2(x),\pi(y)]=\nabla\phi(x)\cdot[\nabla\phi(x),\pi(y)]+[\nabla\phi(x),\pi(y)]\nabla\phi(x)$ . Упрощение: $\nabla\phi(x)\cdot\nabla_x[\phi(x),\pi(y)]+\nabla_x[\phi(x),\pi(y)]\nabla\phi(x)=2\nabla\phi(x)\cdot\nabla_x i\delta(x-y)$ . Итак, вы видите производную дельта-функции в некотором интеграле: $\int \mathrm{d}x f(x) \partial \delta(x-y)$ . Как бы вы с этим справились?
Это производная от $f(x)$ в отношении $x$ оценивается в $x-y=0$ , $f'(y)$
От интегрирования по частям стоит знак минус $-f'(y)$ .

pppqqq · Answer 1

Вот формальное вычисление. Прежде всего обратите внимание, что:

[А^{2}, Б] "=" А А Б - А Б А + А Б А - Б А А "=" А [А, Б] + [А, Б] А .

$[A^2,B]=AAB-ABA+ABA-BAA=A[A,B]+[A,B]A.$

Также:

[\frac{\partial}{\partial г^{'}} ф ({Икс}^{'}), π (Икс)] "=" \frac{\partial}{\partial г^{'}} [ф ({Икс}^{'}), π (Икс)] "=" \frac{\partial}{\partial г^{'}} я {дельта}^{3} ({Икс}^{'} - Икс) "=" я \frac{\partial дельта}{\partial г^{'}} (г^{'} - г) дельта ({Икс}^{'} - Икс) дельта (у^{'} - у) .

$[\frac{\partial}{\partial z'}\phi (\mathbf x'),\pi (\mathbf x)]=\frac{\partial}{\partial z'}[\phi (\mathbf x'),\pi (\mathbf x)]=\frac{\partial}{\partial z'}i\delta ^3 (\mathbf x ' -\mathbf x )=i\frac{\partial \delta}{\partial z'} (z'-z)\delta(x'-x)\delta (y'-y).$

Напомним, что производная распределения $T$ определяется:

(Т^{'}, ф) "=" - (Т, ф^{'}) .

$(T',f)=-(T,f').$

Так:

[(\frac{\partial}{\partial г^{'}} ф ({Икс}^{'}))^{2}, π (Икс)] "=" 2 я \frac{\partial дельта}{\partial г^{'}} (г^{'} - г) дельта ({Икс}^{'} - Икс) дельта (у^{'} - у) \frac{\partial ф}{\partial г^{'}} ({Икс}^{'})

$[(\frac{\partial}{\partial z'}\phi (\mathbf x'))^2,\pi (\mathbf x)]=2i\frac{\partial \delta}{\partial z'} (z'-z)\delta(x'-x)\delta (y'-y)\frac{\partial \phi}{\partial z'} (\mathbf x ')$ и:

\int г^{3} {Икс}^{'} [(\frac{\partial}{\partial г^{'}} ф ({Икс}^{'}))^{2}, π (Икс)] "=" - 2 я \frac{\partial^{2} ф}{\partial г^{2}} (Икс) .

$\int \text {d} ^3 \mathbf x '[(\frac{\partial}{\partial z'}\phi (\mathbf x'))^2,\pi (\mathbf x)]=-2i\frac{\partial ^2\phi}{\partial z ^2} (\mathbf x ).$

кошмарный · Answer 2

$\int d^{3}\vec{x}'[\nabla\phi(\vec{x}',t)\cdot{\nabla\phi(\vec{x}',t)},\pi(\vec{x},t)]$

$=\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\Big(\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'},\frac{\partial\phi(\vec{y}',t)}{\partial y'},\frac{\partial\phi(\vec{z}',t)}{\partial z'}\Big)\cdot{\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'},\frac{\partial\phi(\vec{y}',t)}{\partial y'},\frac{\partial\phi(\vec{z}',t)}{\partial z'}\Big)},\pi(\vec{x},t)\bigg]$

$=\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\Big(\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}\Big)^{2}+\Big(\frac{\partial\phi(\vec{y}',t)}{\partial y'}\Big)^{2}+\Big(\frac{\partial\phi(\vec{z}',t)}{\partial z'}\Big)^{2},\pi(\vec{x},t)\bigg]$

$=\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\Big(\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}\Big)^{2},\pi(\vec{x},t)\bigg]+\bigg[\Big(\frac{\partial\phi(\vec{y}',t)}{\partial y'}\Big)^{2},\pi(\vec{y},t)\bigg]+\bigg[\Big(\frac{\partial\phi(\vec{z}',t)}{\partial z'}\Big)^{2},\pi(\vec{z},t)\bigg]$ .

Рассмотрим только первый коммутатор.

$\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\Big(\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}\Big)^{2},\pi(\vec{x},t)\bigg]$

$\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'},\pi(\vec{x},t)\bigg]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}+\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}\bigg[\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'},\pi(\vec{x},t)\bigg]$ .

Рассмотрим только первый коммутатор.

$\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'},\pi(\vec{x},t)\bigg]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}$

$=\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}\pi(\vec{x},t)-\pi(\vec{x},t)\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}\bigg]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}$

$=\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\frac{\partial}{\partial x'}\{\phi(\vec{x}',t)\pi(\vec{x},t)\}-\phi(\vec{x}',t)\frac{\partial\pi(\vec{x},t)}{\partial x'}-\frac{\partial}{\partial x'}\{\pi(\vec{x},t)\phi(\vec{x}',t)\}+\frac{\partial\pi(\vec{x},t)}{\partial x'}\phi(\vec{x}',t)\bigg]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}$

$=\int d^{3}\vec{x}'\frac{\partial}{\partial x'}[\phi(\vec{x}',t),\pi(\vec{x},t)]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}$

$=\int d^{3}\vec{x}'\frac{\partial}{\partial x'}[i\delta^{(3)}(\vec{x}'-\vec{x},t)]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}$

$=\frac{\partial}{\partial x}[i]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}$

$=0$ .

Аналогично, все остальные члены равны нулю.

Итак, ответ равен нулю.

Градиентный коммутатор в теории ϕ4ϕ4\phi^4

Хорхе Лавин

Майкл

Хорхе Лавин

Майкл

Хорхе Лавин

Майкл

Хорхе Лавин

Майкл

Ответы (2)

pppqqq

кошмарный

Унитарный оператор пространственно-временного перевода

Коммутационные соотношения при вторичном квантовании

Вывод (2.45) у Пескина и Шредера

Происхождение канонических равновременных коммутационных соотношений

Картина Гейзенберга о сложных полевых операторах

Помогите упростить уравнение коммутатора

Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП

Канонические коммутационные отношения в произвольных канонических координатах

Коммутатор положения и импульса

Неабелевы глобальные симметрии, заряды SO(N)SO(N)SO(N) в терминах операторов рождения и уничтожения