Разбираемся в ковариантности и контравариантности

Question

Разбираемся в ковариантности и контравариантности

Притам Бемис

Я только что прочитал о ко- и контравариантных векторах и не уверен, что правильно понял: если представить, что у нас есть n-мерное многообразие $M$ то касательное пространство натянуто на векторы $\partial_1,...,\partial_n.$ Эти ребята переходят из одной системы координат в другую с помощью

\frac{\partial}{\partial {Икс}^{я}} "=" \frac{\partial у^{Дж}}{\partial {Икс}^{я}} \frac{\partial}{\partial у^{Дж}} .

$\frac{\partial}{\partial x^i} = \frac{\partial y^j}{\partial x^i} \frac{\partial}{\partial y^j}.$ Это преобразование согласно Википедии называется ковариантным преобразованием. Теперь стоит заметить, что обычно ковекторы являются элементами двойственного пространства. Базисные векторы двойственного пространства задаются формулой

d x_{1}, . . ., d x_{n} .

$dx_1,...,dx_n.$ Они трансформируются по-разному,

д {Икс}^{я} "=" \frac{\partial {Икс}^{я}}{\partial у^{Дж}} д у^{Дж} .

$dx^i = \frac{\partial x^i}{\partial y^j} dy^j.$

Несмотря на то, что мы преобразуем ковекторы, это преобразование называется контравариантным. Так что почему-то кажется, что тип преобразования не подходит для вектора, который мы здесь рассматриваем, и я не понимаю, почему это происходит.

Если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, оставьте мне комментарий.

Qмеханик

Связано: physics.stackexchange.com/q/79013/2451 и ссылки в нем.

Дэн Пипони

Вас смущает приставка "со-". В «ковариантном» оно используется в смысле «изменяться с». В «ковекторе» оно используется в значении «двойственное, противоположное». Другими словами, «со-» имеет здесь два противоположных значения, и поэтому я вижу, что это немного сбивает с толку, обнаружив, что ковекторы не преобразуются ковариантно.

Майкл

@DanPiponi, это отличное объяснение. Но разве приставка «ко-» в «ковекторе» не имеет той же этимологии, что и «ко-» в «коварианте»? Я бы предположил, что оба произошли от латинского «с» «вместе», что предполагает две вещи, как в слове «двойной».

Дэн Пипони

Я был не совсем прав. Ковекторы преобразуются ковариантно, а векторы преобразуются контравариантно. Ковекторы ковариантны, потому что матрица для преобразования их компонентов в новый базис - это та же матрица, которая использовалась для построения нового базиса. (Контравариантные) векторы используют инверсию. Резюме здесь: en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors Но я все еще уверен, что здесь используются оба значения со-. См. краткое упоминание категориального «коконцепта» в статье в Википедии, где упоминается терминологический конфликт — фактически источник моей ошибки.

Ответы (2)

Разбираемся в ковариантности и контравариантности

Связано: physics.stackexchange.com/q/79013/2451 и ссылки в нем.
Вас смущает приставка "со-". В «ковариантном» оно используется в смысле «изменяться с». В «ковекторе» оно используется в значении «двойственное, противоположное». Другими словами, «со-» имеет здесь два противоположных значения, и поэтому я вижу, что это немного сбивает с толку, обнаружив, что ковекторы не преобразуются ковариантно.
@DanPiponi, это отличное объяснение. Но разве приставка «ко-» в «ковекторе» не имеет той же этимологии, что и «ко-» в «коварианте»? Я бы предположил, что оба произошли от латинского «с» «вместе», что предполагает две вещи, как в слове «двойной».
Я был не совсем прав. Ковекторы преобразуются ковариантно, а векторы преобразуются контравариантно. Ковекторы ковариантны, потому что матрица для преобразования их компонентов в новый базис - это та же матрица, которая использовалась для построения нового базиса. (Контравариантные) векторы используют инверсию. Резюме здесь: en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors Но я все еще уверен, что здесь используются оба значения со-. См. краткое упоминание категориального «коконцепта» в статье в Википедии, где упоминается терминологический конфликт — фактически источник моей ошибки.

доэто · Answer 1

В современной математической терминологии функтор называется ковариантным , если он сохраняет направление морфизмов, и контравариантным, если он обращает его. Для данного дифференцируемого отображения между многообразиями (частным случаем которых будут открытые множества внутри одного и того же многообразия) производная представляет собой отображение между связанными касательными расслоениями. Это определяет ковариантный функтор. Обратный образ дифференциальных форм (ковекторных полей) представляет собой отображение между расслоениями ковекторов в противоположном направлении и определяет контравариантный функтор. Другими словами, сопоставление пучка векторных полей многообразию есть ковариантный функтор, пучка 1-форм — контравариантный функтор. Довольно запутанное (очевидное) несоответствие в терминологии.

Спивак в своем исчерпывающем введении в дифференциальную геометрию, том 1 , говорит об этом (стр. 113):

Классическая терминология использовала те же самые слова [ковариантный и контравариантный], и просто произошло обратное: векторное поле называется контравариантным векторным полем, в то время как сечение $T^\ast M$ называется ковариантным векторным полем. И ни у кого не хватило наглости или полномочий изменить терминологию, столь освященную годами употребления. Так что очень легко запомнить, какое векторное поле является ковариантным, а какое контравариантным — это как раз противоположное тому, чем оно логически должно быть.

Хавьер · Answer 2

В основном векторы называются контравариантными, потому что их компоненты преобразуются противоположно базисным векторам: если наша замена координат такова, что

\frac{\partial}{\partial {Икс}^{я}} "=" \frac{\partial у^{Дж}}{\partial {Икс}^{я}} \frac{\partial}{\partial у^{Дж}}

$\frac{\partial}{\partial x^i} = \frac{\partial y^j}{\partial x^i} \frac{\partial}{\partial y^j}$

то если у нас есть вектор $\mathbf{V}$ , его компоненты $V^i_x$ в $x$ координаты связаны с его компонентами $V^i_y$ к

В_{Икс}^{я} "=" \frac{\partial {Икс}^{я}}{\partial у^{Дж}} В_{у}^{Дж} .

$V^i_x = \frac{\partial x^i}{\partial y^j} V^j_y.$

По той же логике 1-формы называются ковекторами или ковариантными векторами, потому что их компоненты преобразуются подобно базисным векторам, а базисные ковекторы преобразуются подобно компонентам векторов.

Разбираемся в ковариантности и контравариантности

Притам Бемис

Qмеханик

Дэн Пипони

Майкл

Дэн Пипони

Ответы (2)

доэто

Хавьер

Является ли частная производная вектором или двойственным вектором?

Как может набор компонентов не составить вектор?

Ковариантная и контравариантная компоненты вектора в криволинейной системе координат

Что имеется в виду, когда говорят, что «оператор частной производной ∂/∂xµ∂/∂xµ\partial/\partial x^\mu является ковариантным вектором»?

Изменение координат и изменение опорных осей

Ковариантные и контравариантные векторы

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?

Является ли время вектором в пространстве Минковского? [дубликат]

В каком контексте определяется это понятие вектора?

Путаница по поводу ковариантных и контравариантных векторов