Разница между N=2N=2\mathcal{N}=2 короткими мультиплетами и состояниями BPS

У меня есть вопросы по конструкции$\mathcal{N}=2$супермультиплеты для киральной материи . Я знаю, что супермультиплет не должен включать состояния со спином 1, так как они всегда находятся в присоединенном представлении. Итак, мой первый вопрос: почему режимы со спином один всегда представлены в присоединенном представлении?

Чтобы избежать путаницы, я буду обозначать четыре генератора суперсимметрии как$Q^A_\alpha$, куда$\alpha$- спинорный индекс и$A=1,2$.

Во-первых, безмассовый мультиплет или короткий мультиплет. Мы знаем$Q^A_2$порождает состояния с нулевой нормой. Тогда мы можем просто сосредоточиться на$Q^A_1$. Супермультиплет можно построить следующим образом:

$$|\Omega_{-\frac{1}{2}}>\\ Q^{\dagger 1}_\dot{1} |\Omega_{-\frac{1}{2}}>, \, \, Q^{\dagger 2}_\dot{1} |\Omega_{-\frac{1}{2}}>\\ Q^{\dagger 2}_\dot{1} Q^{\dagger 1}_\dot{1} |\Omega_{-\frac{1}{2}}>$$ Два состояния с нулевым спином во второй строке образуют $SU(2)$дублет.

Во-вторых, БПС заявляет. При наличии центрального заряда$Z$, можно записать четыре генератора в терминах$A_\alpha$а также$B_\alpha$после линейного преобразования с$\{ B_\alpha, B^\dagger_\beta\}=\delta_{\alpha\beta}(M-\sqrt{2}Z)$а также$\{A_\alpha, A^\dagger_\beta\}=\delta_{\alpha\beta}(M+\sqrt{2}Z)$. Когда$M=\sqrt{2}Z$, можно получить$\{ B_\alpha, B^\dagger_\beta\}=0$. Таким образом, мультиплет будет:

$$|\Omega_0>\\ A^\dagger_\dot{1}|\Omega_0>, \, \, A^\dagger_\dot{2}|\Omega_0>\\ A^\dagger_\dot{1} A^\dagger_\dot{2}|\Omega_0>$$ Опять же, есть только четыре состояния, как и у короткого мультиплета.

Так образуют ли два фермионных состояния в состояниях BPS своего рода дублет, как в коротком мультиплете? Это не так очевидно, поскольку связь между$A^\dagger_\dot{1}$а также$A^\dagger_\dot{2}$отличаются от таковых$Q^1_1$а также$Q^2_1$.

Из приведенного выше обсуждения правомерно ли сделать вывод, что состояния BPS отличаются от короткого мультиплета в$\mathcal{N}=2$? Например, в коротком мультиплете два скаляра образуют дублет, в то время как я не вижу этого в состояниях BPS. Но в обзорной статье hep-th/9701069, раздел 2.9, Альварес-Гауме упомянул, что состояние BPS принадлежит$\mathcal{N}=2$короткий мультиплет и две скалярные моды образуют дублет, а два фермиона синглетные. Как будто Альварес-Гоме говорил, что эти два штата совершенно одинаковы. Так чего не хватает в моем мышлении? Большое спасибо.