Решение уравнения Клейна-Гордона с преобразованием Фурье

Итак, я пытаюсь решить уравнение Клейна-Гордона, используя только преобразование Фурье пространственных компонентов. Уравнение Клейна-Гордона гласит:

$$(\partial ^2 + m^2)\phi(x) = 0.$$

Если я позволю

$$\phi(x) = \phi(t, \mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \widetilde{\phi}(t,\mathbf{k})e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} } \mathrm{d}^3k,$$

Я подставляю это в уравнение КГ, чтобы получить

$$\frac{\partial^2 \widetilde{\phi}}{\partial t^2} +(\mathbf{k}^2+m^2)\widetilde{\phi}=0.$$

Это дифференциальное уравнение для простого гармонического осциллятора, поэтому я могу сразу написать

$$\widetilde{\phi}(t,\mathbf{k})=A(\mathbf{k})e^{i \omega_{\mathbf{k}}t}+B(\mathbf{k})e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t},$$

и поэтому я нахожу

$$\phi(x)= \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \bigg(A(\mathbf{k})e^{i \omega_{\mathbf{k}}t-\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}+B(\mathbf{k})e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t -\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\bigg) \mathrm{d}^3k.$$

Теперь на этом этапе я немного запутался. Я видел общее решение уравнения Клейна-Гордона, и оно имеет коэффициент$1/2 \omega_{\mathbf{k}}$внутри подынтегрального выражения, какие-либо намеки на то, как я могу приступить к этому?

Я также читал, что для того, чтобы привести в порядок обозначения, я бы установил$\mathbf{k} \rightarrow -\mathbf{k}$во втором члене подынтегральной функции, но не изменится ли это$\mathrm{d}^3k \rightarrow -\mathrm{d}^3k$поскольку определитель Якоби$-1$, так неужели это должна быть разница двух терминов?

---

Решение, которое я пытаюсь получить:

$$\phi(x)= \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \frac{1}{2\omega_{\mathbf{k}}} \bigg(A(\mathbf{k})e^{i \omega_{\mathbf{k}}t-\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}+B(\mathbf{k})e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t +\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\bigg) \mathrm{d}^3k.$$