Я хочу изучить приложения симплектической геометрии в физике. В каком учебнике математической физики будет подробное и эвристическое объяснение этого аспекта?
Ознакомьтесь с «Математическими методами классической механики» В. И. Арнольда.
Эта книга довольно краткая и может иметь трудные для понимания обозначения. Тем не менее, он строг и содержит математические объяснения и доказательства широкого круга вопросов механики. Он также наполнен очень интересными примерами. Он вводит понятия, необходимые из дифференциальной геометрии; однако мне кажется, что это не лучшее введение в тему. Я рекомендую прочитать о многообразиях, касательном/кокасательном расслоении, интегральных кривых и потоках, а также о дифференциальных формах из другого источника. Хотя может и не надо! Что касается материала по физике, то он действительно все начинает с нуля, так что никаких предварительных условий там не нужно.
Также ознакомьтесь с Лекциями Да Силвы Аны Канны по симплектической геометрии. Это довольно математически, но определенно обсуждает приложения к физике. Он доступен онлайн здесь
http://www.math.ist.utl.pt/~acannas/Books/symplectic.pdf
Эта книга больше по симплектической геометрии, чем по физике. Но в нем рассматриваются и приводятся примеры, когда это применимо, связи между ними. Есть целая глава о лагранжевой механике, гамильтоновой механике, принципе Нётер и калибровочной теории, написанная современным «симплектически-геометрическим» языком.
Эта книга менее лаконична, чем книга Арнольда; тем не менее, эта книга предполагает небольшой опыт в области дифференциальной геометрии. В частности, упомянутые выше понятия.
В качестве предварительного материала для обеих этих книг я бы предложил «Введение в гладкие многообразия» Джона Ли или «Введение в многообразия» Лоринга Ту. Просто взгляните на соответствующие главы в этих книгах. Каждому из упомянутых выше понятий посвящены отдельные главы в обеих этих книгах.
Дану