Нарушение инвариантности диффеоморфизма после фиксации фоновой метрики

Лагранжиан для гравитационного поля в отсутствие материи имеет следующий вид:

л "=" 1 / к ∫ г Икс 4 г р ,
где к "=" г , г является определителем метрики и р скаляр Риччи. Можно исправить фоновую метрику, например η ты в а потом изучать возмущения час ты в вокруг него
г ты в "=" η ты в + к час ты в
Лагранжиан становится
л "=" л 0 + к л 1 + к 2 л 2 + . . . . . . .
которую можно интерпретировать как эффективную теорию поля самодействующих частиц, называемых гравитонами. Теперь, учитывая закон преобразования час ты в , как можно сказать, что весь лагранжиан инвариантен, порядок за порядком, относительно локальных диффеоморфизмов? Конечно, симметрия все еще существует, но мне было интересно, есть ли какое-то спонтанное нарушение симметрии, связанное с полем возмущения. час ты в и группа диффеоморфизмов. Процедура напоминает SSB для бозона Хиггса, где лагранжиан
л "=" ∂ ты ф ∂ ты ф − м 2 ф 2 + λ ф 4
Этот лагранжиан инвариантен относительно четности в ф , но после переопределения вокруг вакуума в , минимум потенциала, с которым вы имеете дело ф "=" в + дельта ф и лагранжиан в δϕ больше не инвариантен по четности. Это происходит в предыдущем примере после исправления фона?

См. Квантовая теория поля Шварца и Стандартная модель , раздел 8.7.2. (и, возможно, раздел 22.4)
Я получил лишь частичный ответ на свой предыдущий вопрос, поэтому я попытался объясниться лучше.
Ок, попробую посмотреть на Шварца. Во всяком случае, мне кажется, что исправление фоновой метрики нарушает инвариантность лагранжиана к диффеоморфизму.
Выполнение подхода возмущения не фиксирует метрику. Он определяет эффекты порядков величины, и если вы все сделаете правильно, расширенный ряд определяет метрику, и он все равно должен быть инвариантным для каждого порядка. Расширение возмущения не должно работать для сильного гравитационного поля поверх вашей плоской начальной метрики. Проблема может заключаться в том, что у вас нет ничего для установки масштаба
Хорошо, но как можно строго доказать отсутствие нарушения инвариантности диффеоморфизмов с помощью пертурбативного подхода? Я много раз читал ваше заявление, но ни разу не видел формального доказательства.
@Yildiz, вы не можете потерять симметрию при переопределении полей. В этом случае переопределение г "=" η + час линейный; это делает симметрию менее очевидной/проявленной, но она есть.
@AccidentalFourierTransform Мне было интересно, есть ли какой-то SSB после этого переопределения г "=" η + час ; не очевидно, что лагранжиан, описанный г а затем час инвариантен относительно той же группы симметрии.
Этот пост обсуждался на Meta, см. здесь .

Ответы (2)

Нет, SSB после переопределения поля нет. Напомним, что SSB — это динамический эффект. Вы не можете активировать динамические эффекты, изменяя свои координаты. В скалярном случае SSB запускается квадратичным членом с «неправильным знаком», а не заменой переменных. ф "=" в + дельта ф . Новая физика более прозрачна в новых координатах; но SSB не вызывается переходом на новые координаты: симметрия нарушается независимо от того, определяете ли вы ф "=" в + дельта ф или нет.

Другими словами, физика не зависит от координат. С использованием г → η + час оставляет физику неизменной. Вы также можете изменить г → г 0 + г 1 , и выберите любой фон г 0 . Плоский фон удобен, но в литературе вы также найдете людей, которые рассматривают более общий фон; например, г 0 можно считать метрикой асимптотически плоского пространства-времени. В любом случае динамика определяется лагранжианом, а не координатами.

Я понимаю, о чем вы говорите, во всяком случае, вы согласитесь со мной, что когда я квантую систему, чтобы иметь дело с частицами, я должен работать с минимумом потенциала, и при использовании дельта ф Я должен быть осторожен, потому что неверно, что лагранжиан инвариантен по четности, когда «читается» в возмущениях: конечно, исходная симметрия все еще существует, но менее выражена, как в случае с бозоном Хиггса. Мне было интересно, произойдет ли то же самое в моем случае
Да, согласен с вами: когда написано в терминах г мю ν калибровочная симметрия очевидна, но при записи в терминах час мю ν симметрия уже не очевидна. Симметрия не проявлена, но она есть. Анализ диф. инв. лагранжиана Эйнштейна-Гильберта подробно анализируется в книге Шварца. См. также General Covariance and Background Independence in Quantum Gravity , М. Баренц.
Я посмотрел на Баренца и Шварца, но не нашел ответа. Моя основная проблема заключается в следующем: закон преобразования час ты в ′ "=" час ты в + ∂ ты ξ в − ∂ в ξ ты это симметрия диффеоморфизма, наивно применяемая к час ты в , или это скрытая симметрия, правильная, которая сохраняет диф. инвариантность для г ты в ?
В примере с бозоном Хиггса это то же самое, что преобразование дельта ф в − дельта ф или − дельта ф − 2 в : первое — наивное применение четности к возмущениям, которое нарушается, второе — скрытая симметрия, обеспечивающая сохранение четности для лагранжиана в ф . Это может показаться игрой слов, но это не так. Пожалуйста, дайте мне знать, если вы меня понимаете, и я постараюсь быть более ясным.
Наверняка закон преобразования, который я написал для час ты в не является скрытым, потому что это всего лишь линеаризация истинного скрытого час ты в ′ "=" г ты в ′ − η ты в где г ты в трансформируется обычным образом. Если это так, то кажется, что инвариантность диффеоморфизма нарушена.

Схематически действие Эйнштейна-Гильберта задается выражением

С ∼ ∫ г Д Икс | дет г мю ν | р

для метрики, г мю ν . Теперь, как отмечалось в предыдущих вопросах и по OP, можно расширить поле как,

г мю ν "=" η мю ν + час мю ν

а поскольку обратная метрика представляет собой бесконечный ряд по час мю ν , получается бесконечное число членов в действии Эйнштейна-Гильберта, выраженном в этой форме. Эта процедура не нарушает инвариантность к диффеоморфизму, поскольку это просто переопределение поля, и мы знаем, что сумма всех членов дает С .

Мы можем выразить любую метрику в виде η мю ν + час мю ν , это так же тривиально, как выражение скаляра ф в терминах двух скаляров, один из которых мы можем выбрать совершенно свободно, например ф "=" η + час .

Я согласен, что симметрия остается после переопределения поля, во всяком случае, она может быть менее явной. То же самое происходит со спонтанным нарушением симметрии для бозона Хиггса: лагранжиан имеет ф как поле и оно инвариантно относительно четности, но после переопределения ф "=" в + дельта ф , лагранжиан в дельта ф не является инвариантом по четности: конечно, симметрия все еще существует, но скрыта. Бывает ли это в нашем случае? Не только это: в примере с бозоном Хиггса в был минимум потенциала, а здесь у нас нет потенциала, так зачем выбирать η ты в а не другой показатель?
Конечно, η ты в является естественным выбором в качестве фона, в любом случае не существует динамической процедуры, которая дает его в качестве фона. Он не выводится как минимум из потенциала в нашем лагранжиане, в отличие от вакуума. в для бозона Хиггса и других полей.
@Yildiz Просто удобно расширяться η мю ν . В теории гравитационных возмущений мы фактически расширяемся вокруг общей метрики, г мю ν "=" г 0 мю ν + час мю ν . Все упрощается для г 0 мю ν "=" η мю ν .
Конечно, во многих ситуациях это удобно, но обычно такое переопределение поля во многих книгах (например, Шварца) сопровождается утверждением, что ОТО неперенормируема и что для решения этой проблемы нужно найти УФ-пополнение.
В этом утверждении нет ничего плохого, но я бы предложил и другую точку зрения: может быть, процедура выбора η ты в имеет фон, просто неверен, не динамичен, и это может означать, что мы должны квантовать весь г ты в чтобы получить непротиворечивую теорию. Я бы сказал, что эта другая точка зрения на проблему лежит в основе разделения между теорией струн и LQG-подходами к квантовой гравитации.
@Yildiz Разделение между теорией струн и LQG не имеет к этому никакого отношения, потому что теория струн не пытается квантовать теорию г мю ν ; Гравитация Эйнштейна возникает как поток ренормализационной группы струны в нелинейной сигма-модели.
Я знаю, что теория струн не пытается квантовать г ты в и это лежит в основе его пертурбативного подхода. У LQG есть другой подход: он квантует метрику, используя каноническое квантование, что приводит к непертурбативному подходу. В основе этого различия, я думаю, лежит то, что я сказал.
Нарушение инвариантности диффеоморфизма после фиксации фоновой метрики
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v