Докажите, что фоновая независимость и диффеоморфизм-инвариантность теории пространства-времени эквивалентны.

Уравнения теории обычно можно вывести из действия вместе с принципом наименьшего действия ($\delta S=0$). Действие дается:

где$S$является функционалом$f_1, f_2, ...$, и не является функционалом$g_1, g_2, ...$. я звоню$g_1, g_2, ...$фоновые объекты. Я определил теорию как независимую от фона, если действие$S$используемый для вывода его уравнений поля, не может быть определен таким образом, чтобы не зависеть ни от каких объектов, для которых он не является функционалом (т. е. он не имеет фоновых объектов).$g_1, g_2, ...$).

Модель теории представляет собой упорядоченное множество$<$$M, A_1, A_2, ...$$>$что представляет собой возможное решение уравнений теории. Теория инвариантна к диффеоморфизму, если для любого решения уравнений теории$<$$M, A_1, A_2, ..., A_n, \rho$$>$,$<$$M, f^{\ast}A_1, f^{\ast}A_2, ..., f^{\ast}A_n, f^{\ast}\rho$$>$также является решением для любого диффеоморфизма$f$($f^{\ast}A_i$это перетаскивание под$f$из$A_i$). $A_1, A_2, ...$являются конкретными значениями$f_1, f_2, ... g_1, g_2, ...$которые решают уравнения теории (т.е. для которых$\delta S=0$для бесконечно малых вариаций вокруг$A_1, A_2, ...$ценности).

Я хочу показать, что фоновая независимость и диффеоморфная инвариантность теории эквивалентны (т. е. что теория не зависит от фона тогда и только тогда, когда она инвариантна к диффеоморфизму). Вот моя текущая попытка, но я не уверен, что это строгое доказательство (или если это утверждение вообще определенно верно!):

Ясно, что, как я определил термины, теория, которая не является независимой от фона, вообще говоря, не будет инвариантной к диффеоморфизму, потому что общий диффеоморфизм$f$не оставит объекты абсолютного фона неизменными. Это будет иметь место только для подкласса диффеоморфизмов, для которых$f^{\ast}A_i=A_i$для всех фоновых объектов$A_i$. Возможно, менее очевидным является тот факт, что независимая от фона теория будет инвариантна к диффеоморфизму. Чтобы увидеть это, возьмем какую-нибудь модель независимой от фона теории.$<$$M, A_1, A_2, ..., A_n, \rho$$>$(где все$A_i$не должны быть фоновыми объектами) и некоторый диффеоморфизм$h$. Действие$S$используется для вывода уравнений поля теории:

где$A_1, A_2, ..., A_n, \rho$являются конкретными значениями$f_1, f_2, ...$которые удовлетворяют$\delta S=0$. Это означает, что значение$S$не меняется при бесконечно малых вариациях вокруг$A_1, A_2, ..., A_n, \rho$ценности. С$f^{\ast}A_i(f(p)) \equiv A_i(p)$, и с тех пор$S$дается интегралом по всему многообразию$M$,$S[A_1, A_2, ...]=S[f^{\ast}A_1, f^{\ast}A_2, ...]$. Более того, поскольку диффеоморфизм гладкий, бесконечно малая замена на$f^{\ast}A_i$соответствует бесконечно малому изменению$A_i$, а значит, и значение$S$не изменится при бесконечно малых вариациях вокруг$f^{\ast}A_1, f^{\ast}A_2, ..., f^{\ast}A_n, f^{\ast}\rho$либо, и поэтому эти значения для$f_1, f_2, ...$также удовлетворить$\delta S=0$.

Любая помощь будет высоко оценена здесь!