К чему на самом деле сводится вывод Хартла о правиле Борна?

Здесь было задано много вопросов на тему того, можно ли вывести правило Борна из остальных аксиом квантовой механики. См., например, это и ссылки в нем. Тем не менее, я хочу спросить о конкретном выводе правила Борна благодаря Джиму Хартлу, arXiv:quant-ph/1907.02953v1, который является$2019$arXiv перепечатывает его оригинальную статью 1968 года в American Journal of Physics . Можно увидеть ссылку на эту статью, среди прочего , в знаменитой лекции Дирака Сиднея Коулмана, первоначально названной «Квантовая механика перед вашим лицом» , в обсуждении того, как возникают вероятности в квантовой механике. Хартл выводит правило Борна просто в рамках стандартных рамок квантовой механики, делая что-то довольно умное, но я не могу понять, как именно это равносильно выводу правила Борна, и если нет, то к чему оно на самом деле сводится. Насколько я вижу, этот вопрос здесь ранее не обсуждался .

Итак, что делает Хартл?

• Хартл рассматривает ансамбль$N$одинаково подготовленные квантовые системы, обозначаемые$\vert \psi^N\rangle\equiv\otimes_{i=1}^{N}\vert\psi\rangle$который живет в ансамблевом гильбертовом пространстве, построенном тензорным произведением$\mathcal{H}^N$где$\mathcal{H}$есть гильбертово пространство отдельной квантовой системы, т. е.$\vert \psi\rangle\in\mathcal{H}$.

• Можно рассматривать наблюдаемую$A=\sum_ka_k\vert a_k\rangle\langle a_k\vert$над$\mathcal{H}$такой, что$\vert\psi\rangle$не обязательно является собственным состоянием$A$.

• Теперь Хартл строит частотный оператор $f_k^N$над ансамблевым гильбертовым пространством$\mathcal{H}^N$соответствующее собственному значению$a_k$наблюдаемого$A$определяется как

  $$\begin{align} f_k^N\equiv\sum_{i_1i_2...i_N}\vert a_{i_1}\rangle\otimes\vert a_{i_2}\rangle\otimes...\otimes\vert a_{i_N}\rangle\Big(\frac{1}{N}\sum_{\alpha=1}^{N}\delta_{i_{\alpha}k}\Big)\langle a_{i_N}\vert\otimes...\otimes\langle a_{i_2}\vert\otimes\langle a_{i_1}\vert \end{align}$$ такой, что он диагонализируется собственными состояниями$A^N$и собственное значение$f_k^N$соответствующее собственному состоянию$A^N$- относительная частота собственного значения$a_k$в этом собственном состоянии, т. е.
  $1/N$раз количество раз$\vert a_k\rangle$появляется в тензорном произведении, созданном путем взятия собственного состояния$\vert A\rangle$от каждого из факторов$\mathcal{H}^N$. Я надеюсь, что путаница с обозначениями не умаляет концептуальной простоты определения оператора и понимания того, почему название «частотный оператор» оправдано (по крайней мере, пока).

• Теперь что-то драматическое происходит в пределе$N\to\infty$. В пределе$N\to\infty$, Хартл показывает, что все состояния вида$\vert \psi^N\rangle$ являются собственными состояниями этого частотного оператора с собственным значением, заданным, как вы уже догадались,$\vert\langle\psi\vert a_k\rangle\vert^2$.

Хорошо, все это чисто дедуктивно, если только вы не найдете ошибку в математике, ничего, против чего можно было бы возразить. Суть моего замешательства заключается в том, что, по утверждению Хартла, он сделал, выполнив вышеупомянутые вычисления.

Что утверждает Хартл?

• Хартл утверждает, что, поскольку можно сказать, что величина имеет четко определенное значение для квантовой системы тогда и только тогда, когда квантовая система находится в собственном состоянии соответствующего оператора, следует сказать, что, поскольку$\vert \psi^\infty\rangle$является собственным состоянием частотного оператора$f_k^{\infty}$, существует четко определенное значение (относительной) частоты собственного значения$a_k$в этом ансамбле, даже если государство$\vert \psi\rangle$не является собственным состоянием наблюдаемого$A$. Как уже было показано, эта (относительная) частота определяется, в частности, выражением$\vert\langle\psi\vert a_k\rangle\vert^2$.
• Таким образом , утверждает Хартл, мы показали , что (относительные) частоты результатов измерения$A$можно предсказать для любого заданного состояния$\vert\psi\rangle$и даются правилом Борна.

Чего я не понимаю...

• Я не понимаю, как эта демонстрация вообще говорит о том, какими будут (относительные) частоты результатов, когда мы измеряем$A$в штате$\vert\psi\rangle$это не собственное состояние$A$. В частности, я думаю, что Хартл слишком серьезно относится к названию «частотный оператор» и придает ему значение чего-то, что дает «(относительную) частоту получения определенного собственного значения при измерении», тогда как его определение просто говорит нам, что это оператор, который дает нам «(относительную) частоту появления собственного значения$A$в ансамбле, который уже является собственным состоянием$A^N$".

• Конечно, интересно, что все$\vert\psi^N\rangle$становятся собственными состояниями этого оператора в пределе$N\to\infty$но это не говорит нам, что мы открыли закон вероятности, а просто говорит нам, что оператор, который мы построили, имеет особые свойства в пределе$N\to\infty$. В частности, что в случае конечного$N$, он диагонализируется только состояниями, которые на самом деле имеют четко определенное количество вхождений собственного значения$a_k$, но, в$N\to\infty$она диагонализируется состояниями, не обладающими этим свойством. Ведь оператор — это просто то, чем он определен, и он не обязан сохранять свое качественное поведение при переходе от конечного$N$к$N\to\infty$предел.

• На более базовом уровне, если у вас нет чего-то эквивалентного какому-то постулату коллапса, нет ответа на вопрос, что происходит, когда вы «измеряете» (которое вы также должны каким-то образом определить) наблюдаемую над состояние, которое не находится в собственном состоянии наблюдаемой. Вы не знаете, дает ли измерение просто ничего, или оно дает собственное значение с некоторой вероятностью, или взрывается ли вся Вселенная. Логически говоря, формализм просто молчит.

• Другими словами, я думаю, что существует принцип «мусор на входе, мусор на выходе» в отношении вероятностей/коллапса. Вы должны ввести что-то нетривиальное в формализм, который приводит к чему-то вроде коллапса, чтобы получить определенные результаты с некоторыми вероятностями при измерении несобственного состояния. Насколько я понимаю, в рассуждениях Хартла нет ничего такого, что делало бы это, и поэтому вывод о том, что он не может вывести правило Борна, должен быть предрешён.

• Теперь, если такие возражения верны, то все еще необходимо ответить на вопрос, что на самом деле показал Хартл, потому что его результат, безусловно, своеобразен и интересен!