Построение SUSY-алгебры через индексную структуру

Question

Построение SUSY-алгебры через индексную структуру

ззз

Часто в литературе SUSY-алгебра просто дается, но в различных книгах, например, Бейлин и Лав , дается трудная задача показать, что SUSY-коммутационные соотношения являются единственными возможными соотношениями, которые вы можете записать. Это содержание моего вопроса.

SUSY добавляет два спинорных генератора в алгебру Пуанкаре, наш полный список генераторов дается независимыми компонентами алгебры Пуанкаре.

М^{мю ν}, п^{мю}, {Вопрос}_{α}, {\bar{Вопрос}}_{\dot{β}}

$M^{\mu\nu}, P^\mu, Q_\alpha, \bar{Q}_{\dot\beta}$ Там, где первые два являются обычными генераторами Лоренца и трансляцией, последние два являются дополнительными спинорными генераторами.

Среди прочего, Бейлин и Лав делают такие заявления, как:

$[P^\mu,Q_\alpha]$ должен давать спинор, единственная возможность $c \sigma^\mu _{\alpha\dot\beta}\bar Q^\dot\beta$ .

Где $c$ является константой, и $\sigma^\mu=(I,\sigma^i)$ . Затем они продолжают показывать, что тождество Якоби влечет $c=0$ .

Приведенное утверждение для меня неочевидно, в частности я не могу до конца понять, почему написанное выше выражение является единственно возможным коммутационным соотношением.

Позвольте мне сделать это немного более конкретным:

Из Бейлина и Лава, а также из другой педагогической литературы следует, что структурная константа должна быть некоторой комбинацией $с, о_{α \dot{β}}^{мю}, о_{α β}^{мю ν}$ $c,\sigma^\mu_{\alpha \dot\beta},\sigma^{\mu\nu}_{\alpha\beta}$ Где последний символ — это обычные генераторы SL(2), построенные из Паулис. Я хочу знать, почему это единственное, что разрешено писать. В частности, нельзя ли построить другие матрицы с такой же индексной структурой? Это самые общие вещи с этими структурами индексов, или они фиксируются симметрией?
Ограничившись построением структурных констант из того, что я написал выше, я смог убедиться, что, как утверждалось, индексная структура интересующих коммутаторов фиксирует уникальные структурные константы (с точностью до коэффициента масштабирования). Однако я проверил это на истощение, есть ли систематический способ найти эти комбинации?
Оказалось, что все коммутаторы давали линейную комбинацию генераторов одного типа: например, в цитируемом утверждении результатом является сумма правых спинорных генераторов. Является ли результат, что коммутаторы дают линейные комбинации генераторов одного типа, общим? Или это только побочный эффект уникальности формы структурной константы, зафиксированной структурой индекса, как указано в пункте 2?

Ответы (2)

Построение SUSY-алгебры через индексную структуру

Qмеханик · Answer 1

Этот ответ в основном перефразирует правильный ответ Тримока другими словами.

Предполагается, что супергруппа Пуанкаре является расширением группы Пуанкаре, которая содержит группу Лоренца и сдвиги. Комплексифицируем группу Лоренца. Группа «Ложь» $G:=SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ является (изоморфной двойному накрытию) комплексифицированной группы Лоренца $SO(1,3;\mathbb{C})$ , ср. например, этот пост Phys.SE. Этот факт порождает непрерывные и пунктирные иррепы . нерепутация $(s,\dot{s})$ из $G$ характеризуется двумя неотрицательными полуцелыми числами $s,\dot{s}\in \frac{1}{2}\mathbb{N}_0$ .
Исследуемый коммутатор $[P_{\beta\dot{\beta}}, Q_{\alpha}]$ принадлежит представлению тензорного произведения $G$ ,
$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \otimes (\frac{1}{2}, 0) ≅ (\frac{1}{2}, 0)^{\otimes 2} \otimes (0, \frac{1}{2})$ $(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \otimes (\frac{1}{2},0) ~\cong~(\frac{1}{2},0)^{\otimes 2}\otimes (0,\frac{1}{2})$ $\begin{matrix} (1) & ≅ [(0, 0) \oplus (1, 0)] \otimes (0, \frac{1}{2}) ≅ (0, \frac{1}{2}) \oplus (1, \frac{1}{2}), \end{matrix}$ $\tag{1}~\cong~[(0,0)\oplus(1,0)]\otimes (0,\frac{1}{2}) ~\cong~(0,\frac{1}{2})\oplus (1,\frac{1}{2}),$ которые мы, в свою очередь, разложили на иррепы.
Из 14 супергенераторов Пуанкаре $t_a$ , только дублет $\bar{Q}_{\dot{\gamma}}$ превращается в один из двух ирпов справа. экв. (1), а именно первое $(0,\frac{1}{2})$ . Если мы хотим, чтобы супералгебра Пуанкаре замыкалась на 14 образующих $t_a$ без внедрения новых генераторов; в частности, если мы хотим, чтобы исследуемый коммутатор
$\begin{matrix} (2) & [п_{β \dot{β}}, {Вопрос}_{α}] е с п а н (т_{а}), \end{matrix}$ $\tag{2}[P_{\beta\dot{\beta}}, Q_{\alpha}]~\in~ {\rm span}(t_a),$ затем первый ирреп $(0,\frac{1}{2})$ на правую сторону. экв. (1) должно быть пропорционально $\bar{Q}_{\dot{\gamma}}$ , а второй ирреп $(1,\frac{1}{2})$ должны быть уничтожены.

Это был отличный ответ, спасибо. Я принял ответ Тримока из-за того, что он был первым, но это было очень полезно, спасибо.

Тримок · Answer 2

Возможно, проще рассматривать все образующие как представления $SL(2,C)$ , поэтому, используя спинорные индексы, вы будете иметь: $M^{\alpha \dot \alpha \beta \dot \beta}, P^{\beta \dot \beta}, Q_\alpha, \bar Q^\dot\beta$

Индексы поднимаются и опускаются с помощью символов Леви-Чивита. $\epsilon_{\alpha \beta}, \epsilon^{\alpha \beta},\epsilon_{\dot \alpha \dot \beta},\epsilon^{\dot \alpha \dot \beta}$

Теперь, что такое $[P^{\beta \dot \beta}, Q_\alpha]$ ?

Мы видим, что генератора с видом нет $G^{\beta \dot \beta}_\alpha$ .

Символы Леви-Чивиты также бесполезны, потому что они $2$ нижние или верхние индексы того же типа, поэтому мы не можем написать что-то вроде $[P^{\beta \dot \beta}, Q_\alpha] = \epsilon_{\alpha \beta}Q^\dot\beta$ (была бы очевидная проблема с $_\beta$ индекс).

Таким образом, единственным решением является сокращение индексов $\alpha$ и $\beta$ , то есть :

$[P^{\beta \dot \beta}, Q_\alpha] = \delta_{\alpha} ^{\beta} \bar Q^\dot\beta$

С $P^\mu = \sigma^\mu_{\beta \dot \beta}P^{\beta \dot \beta}$ , (что означает просто, что $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ представительство $SL(2,C)$ эквивалентно фундаментальному представлению $SO(3,1)$ ) получаем окончательно:

$[P^\mu, Q_\alpha] = \sigma^\mu_{\beta \dot \beta}\delta_{\alpha} ^{\beta} \bar Q^\dot\beta = \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \bar Q^\dot\beta$

Огромное спасибо. Я все еще немного сбит с толку своим первым вопросом: в этом случае являются ли символ Леви-Чивиты и тождество единственными тензорами, которые преобразуются как тензоры с двумя спинорными индексами?
Символ Леви-Чивиты — единственная величина, которая трансформируется как представление с $2$ нижние или верхние спинорные индексы того же вида: $\epsilon_{\alpha \beta}, \epsilon^{\alpha \beta},\epsilon_{\dot \alpha \dot \beta},\epsilon^{\dot \alpha \dot \beta}$ . «Идентичность» — это количество $\delta^a_b$ или $\delta^\dot a_\dot b$ , поэтому у вас есть один верхний и один нижний индексы одного типа. Импульс преобразуется как $P^{\beta \dot \beta}$ или $P_{\beta \dot \beta}$ (если вы опустите индексы), поэтому у вас есть $2$ нижние или верхние индексы разного рода.
Вероятно, это глупый вопрос, но не могли бы вы указать мне где-нибудь, где показано ваше первое предложение, что символ Леви-Чивиты — это единственный тензор, который мы можем построить, который преобразуется, как показано?
Символы Леви-Чивиты — это спинорные метрики (используемые для повышения и понижения индексов). Независимо от метрик, единственными возможными операциями являются сокращения одинаковых индексов (один нижний и один верхний одного вида) и образующие. Другой возможности нет.

Построение SUSY-алгебры через индексную структуру

ззз

Ответы (2)

Qмеханик

ззз

Тримок

ззз

Тримок

ззз

Тримок

Существует ли общая теорема о том, почему экспоненциальное отображение ограниченной группы Лоренца сюръективно?

Симметрия E7(7)E7(7)E_{7(7)} в (N=8,d=4)(N=8,d=4)(\mathcal{N}=8, d=4) Супергравитация

Какие математические проблемы возникают при введении фермионов со спином 3/2?

Скобка Ли для алгебры Ли SO(n,m)SO(n,m)SO(n,m)

Связь между динамической алгеброй и группой симметрии

Преобразование скалярного поля и генераторы

Является ли SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\times U(1) = U(2)?

Единственность выражения элемента группы Ли

Существует ли супертеорема Нётер?

Теорема Вигнера-Экарта SU (3)