Коммутатор R-симметрии

Дело в том, что SUSY-алгебра,

$$\begin{align} & \left\{ Q _\alpha ,Q _\beta \right\} = \left\{ \bar{Q} _{\dot{\alpha}} , \bar{Q} _{\dot{\beta}} \right\} = 0 \\ & \left\{ Q _\alpha , \bar{Q} _{\dot{\beta}} \right\} = 2 \sigma ^\mu _{ \alpha \dot{\beta} }P ^\mu \end{align}$$ инвариантен относительно умножения $Q _\alpha$по фазе, $$\begin{align} Q _\alpha & \rightarrow e ^{ - i \phi } Q _\alpha \\ \bar{Q} _{\dot{\alpha}} & \rightarrow e ^{ i \phi } \bar{Q} _{\dot{\alpha}} \end{align}$$ Это означает, что вы можете иметь SUSY-инвариантную теорию, но при этом иметь дополнительную симметрию, которая различает бозоны и фермионы (поскольку ей не нужно коммутировать с $Q _\alpha$).

Чтобы увидеть это явно, рассмотрим эффект$R$симметрия на$Q _\alpha$:

$$\begin{align} e ^{ -i R \phi } Q _\alpha e ^{ i R \phi } & = e ^{ - i \phi } Q _\alpha \\ \left( 1 - i R \phi - ... \right) Q _\alpha \left( 1 + i R \phi - ... \right) & = - i \phi Q _\alpha \\ i \left[ Q _\alpha , R \right] \phi = - i \phi Q _\alpha \\ \left[ Q _\alpha , R \right] = - Q _\alpha \end{align}$$ Таким образом, эта симметрия фазового сдвига означает, что коммутация между $R$генератор симметрии и $Q _\alpha$нетривиальна и, следовательно, бозоны и фермионы могут иметь разный заряд R. Именно это делает R-симметрии такими особенными. Это обсуждение, вероятно, более сложно для ${\cal N} > 1$.