Симметрия обращения времени модели Изинга поперечного поля

В принципе, да:$H$это TRI, потому что это реально. Условие реальности на самом деле означает, что гамильтониан подчиняется определенной антиунитарной симметрии. В этом случае операция обращения времени просто$T=K$где$K$это комплексное сопряжение. это не обычно($T=K\prod_i i\sigma^y_i$), и в частности$T^2=1$, поэтому теоремы Крамерса нет, и спектр не является двукратно вырожденным. Тот факт, что статистика уровня соответствует GOE, конечно же, является следствием условий реальности. На самом деле, я думаю, что если бы$T^2=-1$симметрии с обращением времени статистика будет следовать другому ансамблю (я полагаю, симплектическому).

Вы спросили, что если изменить поперечное поле$g\sum_i \sigma^x_i$к$y$направление. В этом случае два гамильтониана связаны унитарно (т.е.$\pi/2$вращение вращения$U_z$вокруг$z$вернул бы). Позвольте мне назвать гамильтониан с$x$поперечное поле$H_x(g)$где$g$— поперечное поле, а с$y$поперечное поле$H_y(g)$. Определять$U_z=e^{i\pi \sum_i\sigma^z_i/4}$, то легко проверить, что$U_z H_y(g) U_z^{-1}= H_x(g)$. Поскольку мы знаем$H_x^*(g)=H_x(g)$, мы можем легко найти$H_y^*=U_z^2 H_y U_z^{-2}$. Следовательно, нужно просто переопределить симметрию обращения времени, чтобы она была$T=K U_z^2$. Если вы действительно хотите нарушить условие реальности так, чтобы это не фиксировалось дополнительными унитарными преобразованиями, то нужно включить поперечные поля по всем трем измерениям.

Последний комментарий к вашим «Аргументам за да»: первый приведенный вами аргумент, а именно переворачивание внешних параметров, не работает. Таким образом, не было бы нарушения симметрии с обращением времени, кроме CP-нарушения в фундаментальных процессах! Когда мы говорим о симметрии гамильтониана, мы должны просто рассматривать систему саму по себе, а не со всеми внешними устройствами, которые генерируют различные члены — если только вы не хотите рассматривать динамику этих устройств, но тогда это другое. Гамильтониан.

Я бы сказал, что есть два разных антиунитарных оператора, которые оба обычно называются «операторами обращения времени», и вам нужно указать, какой из них вы имеете в виду. По одному определению ($T = K \prod_i i\, \sigma_i^y$), все три матрицы Паули меняют знак при$T$. Это определение является более «физическим», потому что вращение нечетно при обращении времени. (Например, если вы полуклассически моделируете вращение как крошечную петлю электрического тока, то обращение времени меняет направление тока и, таким образом, меняет направление магнитного дипольного момента). В соответствии с этим определением TQIM не$T$-симметричный, потому что член поля меняет знак.

Второе определение$(T = K)$немного менее физически и более запутанно концептуально, потому что оператор комплексного сопряжения$K$зависит от базиса, поэтому$T = K$определен только в конкретном базисе (хотя получается, что полученный оператор антиунитарен в любом базисе). Согласно этому определению,$\sigma^y$меняет знак под$T$но$\sigma^x$и$\sigma^z$нет, поэтому операция состоит в отражении через$x-z$плоскость в спиновом пространстве. Теперь мы говорим, что гамильтониан$T$-симметричный, если в спиновом пространстве существует такой базис, который симметричен относительно этого оператора. (Или, как указал @MengChen, вы можете построить унитарный$U$который поворачивает соответствующую ось вращения в определение$T$.) Согласно этому определению, магнитное состояние, инвариантное относительно обращения времени, соответствует состоянию, имеющему компланарный порядок в спиновом пространстве (в$x-z$плоскости в соответствующем базисе). Состояния с этим свойством легче моделировать численно, потому что волновая функция является чисто реальной (в правильном базисе), и поэтому арифметические операции могут выполняться в два раза быстрее. В соответствии с этим определением QTIM$T$-симметричный, так как все члены гамильтониана лежат в$x-z$плоскость в спиновом пространстве.

В любом случае, как указал @MengChen, вы не меняете знак$h$, так как ток, генерирующий$h$предполагается лежащим вне системы и на него не действует оператор обращения времени. Если бы вы включили источник магнитного поля в свой гамильтониан, то$T$-симметрия будет восстановлена, но, конечно, это будет гораздо более сложная задача. Если бы вы определили обращение времени для переворачивания всех внешних полей, то практически любая система была бы$T$-симметричный (за исключением нескольких экзотических процессов, связанных со слабым ядерным взаимодействием), поэтому эта концепция не будет полезной.