Сохраняющийся ток в комплексном релятивистском скалярном поле

Для моего класса теории поля у меня есть следующая лагранжева плотность

$$\mathscr{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*\partial_\nu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^*\phi$$

Где$\eta^{\mu\nu}$является метрическим тензором (соглашение +---), а * обозначает комплексное сопряжение. Лагранжиан инвариантен относительно$\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi$и если мы таким образом позволим$\alpha$иметь бесконечно малый размер, то мы имеем следующее разложение преобразования$\phi\rightarrow \phi + i\alpha\phi$. Из теоремы Нётер я знаю, что сохраняющиеся токи для s преобразований параметрической симметрии задаются выражением

$$J^k_n=-\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_k\phi_I)}(\Phi_{I,n}-\partial_m\phi_I X^m_n)-\mathscr{L}X^k_n,$$

и$n=1,...,s$, для преобразования

$$x^i\rightarrow x'^i= x^i+\delta x^i, \;\;\;i=1,...,d,$$

$$\phi_I(x)\rightarrow \phi_I'(x')=\phi_I(x)+\delta\phi_I(x).$$

С$\phi_I$поля в$\mathscr{L}$. Где$X$и$\Phi$даются следующим образом

$$\delta x^i=\sum_{1\leq n\leq s}X^i_n\delta\omega_n, \;\;\;\;\;\; \delta\phi_I(x)=\sum_{1\leq n\leq s}\Phi_{I,n}\delta\omega_n$$

Теперь в приведенной выше лагранжевой плотности мы имеем, что$\delta\omega=i\alpha$,$X^i=0$и$\Phi=\phi$. Теперь, когда я пытаюсь рассчитать сохраняемый ток, я как бы застреваю здесь.

$$J^k=-\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_k\phi)}\phi=-\frac{1}{2}\left[\frac{\partial(\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*)}{\partial(\partial_k\phi)}\partial_\nu\phi+\partial_\mu\phi^*\frac{\partial(\eta^{\mu\nu}\partial_\nu\phi)}{\partial(\partial_k\phi)}\right]\phi$$

Что, по мнению моего профессора, должно равняться$\frac{1}{2}(\partial^k\phi\phi^*-\partial^k\phi^*\phi)$. Я понятия не имею, как он пришел к такому результату из моего выше$J^k$.