Скалярное произведение в фоковском пространстве и кулоновское взаимодействие при вторичном квантовании

Question

Скалярное произведение в фоковском пространстве и кулоновское взаимодействие при вторичном квантовании

Квертуй

Это сомнение, с которым я столкнулся, пытаясь вычислить форму кулоновского взаимодействия при вторичном квантовании в базисе плоских волн.

Позволять $k$ обозначают импульс и $r$ положение, и позвольте мне использовать $a$ и $b$ для спиновых переменных, так что, например, $\vert r a \rangle$ обозначает состояние частицы с положением $r$ и вращаться $a$ и $\vert k b \rangle$ состояние частицы с импульсом $k$ и вращаться $b.$ Зная, что имеет место (для простоты записи постоянная нормализации равна единице), что $\langle ra \vert kb \rangle = \exp(i kr) \delta_{a,b},$ Я хотел бы вычислить следующее скалярное произведение в пространстве Фока:

⟨ к а, к^{'} а^{'} | р б, р^{'} б^{'} ⟩ .

$\langle k a, k^\prime a^\prime \vert r b, r^\prime b^\prime \rangle.$

Мой аргумент: По определению, $\vert r b, r^\prime b^\prime \rangle=\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\vert r b \rangle \otimes \vert r^\prime b^\prime \rangle-\vert r^\prime b^\prime \rangle \otimes \vert r b \rangle \right)$ и аналогично для $\langle k a, k^\prime a^\prime \vert.$ Поэтому быстро обнаруживается, что скалярное произведение - это просто определитель матрицы, состоящей из всех возможных пар, то есть:

⟨ к а, к^{'} а^{'} | р б, р^{'} б^{'} ⟩ "=" ⟨ к а | р б ⟩ ⟨ к^{'} а^{'} | р^{'} б^{'} ⟩ - ⟨ к а | р^{'} б^{'} ⟩ ⟨ к^{'} а^{'} | р б ⟩,

$\langle k a, k^\prime a^\prime \vert r b, r^\prime b^\prime \rangle=\langle ka \vert rb \rangle \langle k^\prime a^\prime \vert r^\prime b^\prime \rangle- \langle ka \vert r^\prime b^\prime \rangle \langle k^\prime a^\prime \vert rb\rangle,$ что дает результат:

опыт (- я к р - я к^{'} р^{'}) {дельта}_{а, б} {дельта}_{а^{'}, б^{'}} - опыт (я к р^{'} + я к^{'} р) {дельта}_{а, б^{'}} {дельта}_{а^{'}, б} .

$\exp(-ikr-ik^\prime r^\prime)\delta_{a,b}\delta_{a^\prime,b^\prime}-\exp(ikr^\prime+ik^\prime r)\delta_{a,b^\prime} \delta_{a^\prime, b}.$

Получив это, я хочу использовать этот результат для вычисления матричного элемента $\langle k_1 a_1,k_2 a_2 \vert V \vert k_3 a_3,k_4 a_4 \rangle$ кулоновского взаимодействия, которое по определению удовлетворяет (в адекватных единицах):

⟨ р_{1} б_{1}, р_{2} б_{2} | В | р_{3} б_{3}, р_{4} б_{4} ⟩ "=" \frac{1}{| р_{1} - р_{2} |} дельта (р_{3} - р_{1}) дельта (р_{4} - р_{2}) {дельта}_{б_{3}, б_{1}} {дельта}_{б 4, б 2} .

$\langle r_1 b_1,r_2 b_2 \vert V \vert r_3 b_3,r_4 b_4 \rangle=\frac{1}{\vert r_1-r_2 \vert}\delta(r_3-r_1)\delta(r_4-r_2)\delta_{b_3,b_1}\delta_{b4,b2}.$ Применяя дважды разрешение тождества, мы имеем:

⟨ к_{1} а_{1}, к_{2} а_{2} | В | к_{3} а_{3}, к_{4} а_{4} ⟩ "="

$\langle k_1 a_1,k_2 a_2 \vert V \vert k_3 a_3,k_4 a_4 \rangle=$

\sum_{б_{1}, б_{2}, б_{3}, б_{4}} \int г р_{1} г р_{2} г р_{3} г р_{4} ⟨ к_{1} а_{1}, к_{2} а_{2} | р_{1} б_{1}, р_{2} б_{2} ⟩ ⟨ р_{1} б_{1}, р_{2} б_{2} | В | р_{3} б_{3}, р_{4} б_{4} ⟩ ⟨ р_{3} б_{3}, р_{4} б_{4} | к_{3} а_{3}, к_{4} а_{4} ⟩ .

$\sum_{ b_1,b_2,b_3,b_4 } \int dr_1 dr_2 dr_3 dr_4 \langle k_1 a_1,k_2a_2 \vert r_1 b_1,r_2b_2 \rangle \langle r_1 b_1,r_2 b_2 \vert V \vert r_3 b_3,r_4 b_4 \rangle \langle r_3b_3,r_4b_4 \vert k_3a_3,k_4a_4 \rangle.$ Используя скалярное произведение выше, я получаю:

\sum_{б_{1}, б_{2}} \int г р_{1} г р_{2} (е^{- я к_{1} р_{1} - я к_{2} р_{2}} {дельта}_{а_{1}, б_{1}} {дельта}_{а_{2}, б_{2}} - е^{я к_{1} р_{2} + я к_{2} р_{1}} {дельта}_{а_{1}, б_{2}} {дельта}_{а_{2}, б_{1}})

$\sum_{b_1,b_2}\int dr_1 dr_2 \left( e^{-ik_1r_1-ik_2 r_2}\delta_{a_1,b_1}\delta_{a_2,b_2} -e^{ik_1r_2+ik_2 r_1}\delta_{a_1,b_2} \delta_{a_2, b_1}\right)$

\times \frac{1}{| р_{1} - р_{2} |} (е^{- я к_{3} р_{1} - я к_{4} р_{2}} {дельта}_{а_{3}, б_{1}} {дельта}_{а_{4}, б_{2}} - е^{я к_{3} р_{2} + я к_{4} р_{1}} {дельта}_{а_{3}, б_{2}} {дельта}_{а_{4}, б_{1}}) .

$\times \frac{1}{\vert r_1-r_2 \vert} \left( e^{-ik_3r_1-ik_4 r_2}\delta_{a_3,b_1}\delta_{a_4,b_2}-e^{ik_3r_2+ik_4 r_1}\delta_{a_3,b_2} \delta_{a_4, b_1}\right).$

Затем я подключаю этот результат к расширению

\sum_{к_{1} с_{1}, к_{2} с_{2}, к_{3} с_{3}, к_{4} с_{4}} ⟨ к_{1} а_{1}, к_{2} а_{2} | В | к_{3} а_{3}, к_{4} а_{4} ⟩ с_{к_{1} с_{1}}^{†} с_{к_{2} с_{2}}^{†} с_{к_{4} с_{4}} с_{к_{3} с_{3}}

$\sum_{k_1 s_1,k_2 s_2,k_3 s_3, k_4 s_4} \langle k_1 a_1,k_2 a_2 \vert V \vert k_3 a_3,k_4 a_4 \rangle c^{\dagger}_{k_1 s_1}c^{\dagger}_{k_2 s_2}c_{k_4 s_4}c_{k_3 s_3}$

НО (в этом проблема) я не могу вывести отсюда вторично-квантованную форму кулоновского взаимодействия, которая $\frac{1}{2}\sum_{k_1,k_2,q,s_1,s_2} q^{-2} c^{\dagger}_{k_1,s_1}c^{\dagger}_{k_2, s_2}c_{k_4-q,s_2}c_{k_3+q,s_1}.$ Вещи просто не складываются. Есть некоторые экспоненты, которые кажутся неправильными, и я не вижу, где я мог допустить ошибку. Что я делаю не так?

Ответы (2)

Скалярное произведение в фоковском пространстве и кулоновское взаимодействие при вторичном квантовании

Квертуй · Answer 1

Хорошо. Я понял, что было не так. На самом деле, это довольно тонкая деталь, которая, на мой взгляд, не очень хорошо объяснена в большинстве учебников. Для интересующихся: это было в приложении о втором квантовании книги Энгеля и Дрейцлера «Функциональная теория плотности: продвинутый курс», где я окончательно прояснил свои сомнения.

Следуя обозначениям приложения к вышеупомянутой книге, позвольте мне назвать $\vert a b )=\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle$ и $\vert a b \rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \vert a b )-\vert \vert b a ) \right).$

КЛЮЧ в том, что это НЕ правда, как я написал в своем вопросе (сейчас я опущу спин для ясности), что

В "=" \sum_{к_{1} к_{2} к_{3} к_{4}} ⟨ к_{1} к_{2} | В | к_{3} к_{4} ⟩ с_{к_{1}}^{†} с_{к_{2}}^{†} с_{к_{4}} с_{к_{3}} .

$V=\sum_{k_1 k_2 k_3 k_4} \langle k_1 k_2 \vert V \vert k_3 k_4 \rangle c^\dagger_{k_1} c^\dagger_{k_2} c_{k_4}c_{k_3}.$ Правильное тождество:

В "=" \frac{1}{2} \sum_{к_{1} к_{2} к_{3} к_{4}} (к_{1} к_{2} | В | к_{3} к_{4}) с_{к_{1}}^{†} с_{к_{2}}^{†} с_{к_{4}} с_{к_{3}},

$V=\frac{1}{2}\sum_{k_1 k_2 k_3 k_4} \left( k_1 k_2 \vert V \vert k_3 k_4 \right) c^\dagger_{k_1} c^\dagger_{k_2} c_{k_4}c_{k_3},$ и тогда все вычисления следуют легко (ПРИМЕЧАНИЕ: множитель

1 / 2

$1/2$ это не так важно; это была всего лишь незначительная ошибка. Важным моментом является переход от

⟨ . . . ⟩

$\langle ... \rangle$ к

(. . .) .

$( ... ).$

Доказательство вышеуказанного тождества несложно. Он просто использует форму разрешения личности в фоковском пространстве, $\frac{1}{2}\sum_{a b}\vert a b \rangle \langle a b \vert=$ Id (2 происходит из-за сверхполноты базисного набора) и симметрии взаимодействия, $(a b \vert V \vert c d)=(b a \vert V \vert d c).$

Дело в том, что до вчерашнего дня я ни разу не переставал выводить эту формулу (форму взаимодействия двух тел при вторичном квантовании) самостоятельно, а так как многие учебники не слишком конкретны в этом вопросе, то считал ошибочным формула должна быть правильной (на самом деле, я видел другую формулу, записанную - с $\frac{1}{2}$ фактор- во многих местах, что, хотя и понятно, я думаю, является катастрофой с обозначениями и потенциально очень запутанно для начинающих, таких как я).

Для студентов: я думаю, суть такова: делайте расчеты самостоятельно, ни с кем не консультируясь. Только когда вы сможете это сделать, вы можете быть уверены, что чему-то научились!

РодерикЛи · Answer 2

Вы можете попробовать преобразовать аргумент из $r_1, r_2$ в $r_1, r_2-r_1$ . При этом вы затем интегрируете $r_2-r_1$ , что-то вроде

\int г^{3} р \frac{е^{я к \cdot р}}{р} \propto \frac{1}{к^{2}}

$\int d^3{\bf r}\frac{e^{i\bf k\cdot r}}{r}\propto\frac{1}{k^2}$

Да, конечно, это то, что я сделал, и я не дохожу до правильного выражения. Я предполагаю, что в выводе полученного уравнения есть какая-то концептуальная ошибка, которую я нигде не видел... Но я не вижу, что я делаю неправильно. Спасибо!

Скалярное произведение в фоковском пространстве и кулоновское взаимодействие при вторичном квантовании

Квертуй

Ответы (2)

Квертуй

РодерикЛи

Квертуй

Суперпозиция состояний при вторичном квантовании

Как записать выходное состояние светоделителя?

Связь между преобразованием Фурье и пространством Фока

Спектр цепи Китаева (неспаренные майорановские фермионы в квантовых проволоках) [закрыто]

Истоки второго квантования

Оператор обращения времени в модели сильной связи со второй формой квантования

Базовое понимание пространства Фока квантованного реального скалярного поля

Вывод спин-орбитальной связи Рашбы в модели сильной связи

Некоторые вопросы о ком-нибудь?

Значение пространства Фока