Оператор обращения времени в модели сильной связи со второй формой квантования

Начав с некоторой справочной информации из Википедии , мы имеем, что при развороте во времени позиция не меняется, а импульс меняет знак.

В квантовой механике мы можем выразить действие обращения времени на эти операторы как$\Theta\,\mathbf{x}\,\Theta^\dagger = \mathbf{x}$и$\Theta\,\mathbf{p}\,\Theta^\dagger = -\mathbf{p}$. Здесь стоит упомянуть, что оператор обращения времени,$\Theta$, является антиунитарным , что позволяет выразить его как$\Theta = UK$где$U$является унитарным и$K$является оператором комплексного сопряжения.

Что касается операторов рождения/уничтожения, используемых при вторичном квантовании, то знак меняется при$\Theta$предложил бы трансформацию$a_r \rightarrow a_r$и$a_k \rightarrow a_{-k}$. Если вас беспокоит тот факт, что$k$представляет кристальный импульс, а не истинный импульс, вы можете просто взять преобразование позиции, которое, возможно, более надежно, и использовать$a_k = \sum_r \, a_r \,\mathrm{exp}[ -\mathrm{i} k\cdot r]$проверять$a_k \rightarrow a_{-k}$напрямую.

Используя эти преобразования, вы сможете проверить, что гамильтониан сильной связи инвариантен относительно обращения времени в пространстве положений и импульсов для решетки с базисом или без него. Имейте в виду, что обычно вы берете комплексно-сопряженные коэффициенты в$H$, однако в вашем случае$t$и$\epsilon_k$оба настоящие. Однако важно помнить, в основном, чтобы убедиться,$H$остается эрмитовым.

Что касается вашего комментария о$\sigma_y$, это необходимо только в том случае, если вы включаете отжим. Спин меняет знак при обращении времени, поэтому$\Theta\,\mathbf{S}\,\Theta^\dagger = -\mathbf{S}$. В этом случае мы можем формально написать$\Theta = \mathrm{exp}[-i \pi J_y]\,K$, что, вероятно, является отношением, на которое вы намекаете.

Согласно «Современной квантовой механике» Дж. Дж. Сакураи , одним из возможных соглашений для состояний углового момента, обращенного во времени, является$\Theta | j,m\rangle = (-1)^m |j,-m\rangle$. Это говорит о том, что со спиновыми индексами операторы рождения/уничтожения преобразуются как$a_{r,m} \rightarrow (-1)^m\,a_{r,-m}$и$a_{k,m} \rightarrow (-1)^m \, a_{-k,-m}$под обращением времени. Насколько я понимаю, большинство спиновых гамильтонианов будут инвариантны при этом преобразовании. Примером, когда это не так, может быть наличие внешнего магнитного поля, которое взаимодействует со спинами через$\mathbf{S}\cdot \mathrm{B}-$как срок.

Интересно, что даже в отсутствие внешнего поля основное состояние спиновых гамильтонианов все еще может спонтанно нарушать симметрию обращения времени, присутствующую в$H$, но вместо того, чтобы обсуждать это сам, я направлю вас к этому очень хорошо написанному ответу .