Слабое изоспиновое преобразование ψ¯ψϕψ¯ψϕ\bar\psi \psi \phi

В старом экзамене я нашел следующий вопрос относительно потенциала Хиггса:

Запишите калибровочно-инвариантный член взаимодействия Юкавы в лагранжиане, который определяет массу электрона.

Дублет Хиггса задается в унитарной калибровке как

ф ( Икс ) "=" ( 0 в + час ( Икс ) / 2 ) .

Тогда электронный дублет записывается как

ψ "=" ( ν е е − ) .

Вершина Юкавы, вероятно, ψ ¯ ψ ф . Отсюда я прямо не вижу, что он превращается в синглет при слабом изоспиновом SU(2)-превращении. ф вероятно превращается в дублет, с 2 представление. Это означает, что ψ ¯ ψ должны трансформироваться вместе с 2 ¯ преобразование для всей лагранжевой плотности преобразовать как скаляр (быть инвариантным).

я расширил ψ ¯ ψ вот так:

ψ ¯ ψ "=" ( ψ л ψ р ) † γ 0 ( ψ л ψ р ) "=" ψ л † ψ р + ψ р † ψ л

The ψ р должен превратиться в синглет. ψ л должен трансформироваться с 2 . Какой из ψ † трансформируется с 2 ¯ , затем? И ψ р † ψ л ф кажется, трансформируется с 2 ⊗ 2 что также не является инвариантом.

Где мое недоумение по этому поводу?

Ответы (1)

Просто напишите термин взаимодействия в форме

л Д ты к "=" г л ¯ ЧАС р ,
где ЧАС является дублетом Хиггса в произвольной калибровке. Так как под С U л ( 2 ) преобразования л ¯ трансформируется как 2 ¯ , пока ЧАС трансформируется как 2 , затем л ¯ ЧАС является С U л ( 2 ) инвариант; с р преобразуется тривиально, то л ¯ ЧАС р это также С U л ( 2 ) инвариант. Но л ¯ ЧАС не является инвариантным относительно U Д ( 1 ) трансформация: суммарная гиперзарядка л ¯ ЧАС дважды − Д л + Д ЧАС ≠ 0 . Здесь нужно вспомнить о гиперзаряде р : он равен − ( Д ЧАС + Д л ) , так что суммарный гиперзаряд л ¯ ЧАС р равен нулю. Таким образом л ¯ ЧАС р полностью калибровочно инвариантна.

Извлекая VEV Хиггса, вы получаете массовый член. Поскольку исходная конструкция явно калибровочно-инвариантна на уровне лагранжиана, такой член, полученный описанным способом, не нарушает калибровочную инвариантность. Однако, выбирая конкретный ВЭВ, вы выбираете заданное вакуумное состояние теории, которое не является калибровочно-инвариантным.

Спасибо за ваш ответ! Я не понимаю предпоследнего предложения первого абзаца: «Но это не U Д ( 1 ) инвариант, делая суммарный заряд минус двойной заряд р ». Не могли бы вы немного перефразировать?
Извините, здесь опечатка. Я исправил ответ.
Слабое изоспиновое преобразование ψ¯ψϕψ¯ψϕ\bar\psi \psi \phi
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v