Смысл пертурбативной и непертурбативной перенормируемости

1. Пертурбативно перенормируемые (или просто перенормируемые) теории — это теории, которые можно последовательно перенормировать, подстраивая значения конечного числа параметров до любого порядка теории возмущений. Ключевым моментом здесь является то, что конечное число параметров фиксируется до выбора порядка теории возмущений. Мы должны иметь возможность придать смысл теории любого порядка, настраивая один и тот же конечный набор параметров. Примеры перенормируемых$4d$QFT включают$\varphi^4$(параметры – перенормировка напряженности поля$Z$, масса частицы$m$и связь взаимодействия$\lambda$), теория Юкавы (как скалярная, так и псевдоскалярная), КЭД, Янга-Миллса для компактных калибровочных групп.

2. Пертурбативно неперенормируемые (или просто неперенормируемые) теории — это те, которые не являются пертурбативно перенормируемыми. Примеры включают$\varphi^6$в$4d$, пертурбативная общая теория относительности.

3. Я никогда не слышал термина «непертурбативно перенормируемый», но я полагаю, что имеется в виду конечность . Конечные теории - это те, которые допускают четкое определение квантовой механики с гильбертовым пространством (или тройкой Гельфанда) и физическими наблюдаемыми как самосопряженными операторами, действующими на нем. Невероятно красивый и нетривиальный момент здесь состоит в том, что конечные теории могут иметь пертурбативные разложения, которые на самом деле неперенормируемы. Лучшим примером здесь является общая теория относительности в$3d$. Он был строго квантован Виттеном, но его пертурбативный ряд представляет собой неперенормируемое асимптотическое разложение.

4. Те, которые мы не можем сформулировать или определить :) Логика в том, что квантовые теории определяют эффективные действия, а не наоборот. Если у нас есть теория, которую нельзя объяснить с точки зрения квантовой механики, то у нас вообще нет теории.

Все эти различия являются несколько старомодными в современном понимании КТП как эффективных теорий поля, и является ли КТП фундаментально перенормируемой или нет, в основном беспокоит людей, которые все еще верят в КТП всего. (Обратите внимание, что с точки зрения популяризации это кажется очень важным, но следует иметь в виду, что большинство людей, использующих QFT/RG, на самом деле не работают над этим вопросом теории всего.)

(1) Пертурбативно перенормируемая теория представляет собой КТП, где для каждого порядка теории возмущений с фиксированным УФ-обрезанием$\Lambda$, можно переопределить конечное число параметров в зависимости от$\Lambda$, такой, что предел$\Lambda\to\infty$теперь хорошо определен. Обратите внимание, что это должно быть сделано в следующем порядке: сначала возмущение, затем$\Lambda\to \infty$. Два предела не обязательно коммутируют. Например,$\phi^4$теория в 4D пертурбативно перенормируема, но не существует в непрерывном пределе ($\Lambda\to\infty$с самого начала), т. е. если настаивать на том, что теория определена непосредственно с бесконечной отсечкой, с конечной константой взаимодействия, то корректно определена только свободная теория.

(2) Пертурбативно неперенормируемая теория — это КТП, в которой этого сделать нельзя. Необходимо увеличивать число параметров по мере увеличения порядка разложения возмущения. Это не означает, что теория бесполезна, просто нельзя избавиться от высокоэнергетической зависимости всего несколькими параметрами. Так обстоит дело с большинством теорий.

(3) Непертурбативно перенормируемая теория — это КТП, в которой можно взять континуальный предел, и для его полной параметризации требуется всего несколько параметров. Однако если попытаться разложить по константе связи, а затем взять$\Lambda\to\infty$, то теория оказывается неперенормируемой. Эта идея лежит в основе сценария асимптотической безопасности квантовой гравитации, когда кто-то пытается выполнить непертурбативное вычисление, чтобы найти фиксированную точку УФ-РГ для управления теорией.

(4) Непертурбативно неперенормируемая теория является отрицанием вышеизложенного.

Обратите внимание, что предел континуума (теория, непертубативно определенная как существующая в пределе$\Lambda\to\infty$) мало интересна для большинства приложений КТП, так как в статистической физике и конденсированных средах всегда существует конечная УФ-отсечка, а в ГЭП можно работать с ТЭП, достаточными для описания энергий, получаемых на ускорителях.

См. также этот пост. Почему мы ожидаем, что наши теории не зависят от предельных значений?