Собственная энергия, 1PI и головастики

Question

Собственная энергия, 1PI и головастики

Физика
собственная энергия
нарушение симметрии
теория возмущений
1pi-эффективное действие
квантовая теория поля

Квантовая точка

Мне трудно согласовать следующее несоответствие:

Напомним, что при переходе к эффективному действию через преобразование Лежандра мы интерпретируем эффективное действие $\Gamma[\phi_c]$ быть производящим функционалом 1-частичных неприводимых функций Грина $\Gamma^{[n]}$ . В частности, двухточечная функция является обратной величиной связной функции Грина,

{\tilde{Г}}^{[2]} (п) знак равно я ({\tilde{грамм}}^{[2]} (п))^{- 1} знак равно п^{2} - м^{2} - Σ (п)

$\tilde \Gamma^{[2]}(p)=i\big(\tilde G^{[2]}(p)\big)^{-1}=p^2-m^2-\Sigma(p)$

который является одетым пропагатором.

Но, проблема вот в чем: в самопроизвольно сломанном $\phi^4$ теории, скалярный мезон (квантовые флуктуации вокруг среднего значения вакуума) получает поправки на собственную энергию из трех диаграмм:

$-i\Sigma(p^2)=$ + +

Обратите внимание, что последняя диаграмма (головастик) не является 1PI, но должна быть включена (см., например, Peskin & Schroeder, стр. 361). В схеме перенормировки MS-bar головастик не исчезает.

Если график головастиков включен в $\Sigma$ , и, следовательно, в $\tilde{G}$ а также $\tilde\Gamma$ , тогда $\tilde\Gamma$ не может быть 1PI. Если головастик не включен, то $\tilde G$ не является инверсией одетого пропагатора (это тоже странно). В чем дело?

Рон Маймон

Я не составил ответ, но если вы спешите, головастики вносят свой вклад только потому, что это вырожденная диаграмма с нулевым импульсом, проходящим через линию. Вам нужно иметь дело с контртермом линейного поля, который отменяет головастиков, и это раздражает формально, поэтому мне нужно выбрать схему и быть последовательным, чтобы дать реальный ответ, но доказательство 1PI проходит нормально, когда все строки несут нетривиальные импульс, так что нет головастиков, так что это единственное исключение, и в хорошей схеме исключений нет, потому что головастики отменяются линейным в поле контрчленом, фиксирующим VEV.

Рон Маймон

@QuantumDot: Я сделаю это, но, вероятно, меня опередят --- это хорошо известные вещи. Вы можете решить это самостоятельно, пройдя доказательство того, что эффективное действие — это диаграммы 1PI (это требует составления диаграмм с потоком импульса через линии, нулевой импульс на линии — исключительный случай из-за головастиков) и выработав отмену головастика с помощью контртермин линеен в поле, но написать ответ означает выбрать последовательную схему вычитания, а это требует блока свободного времени, которого у меня нет в данный момент (скоро).

Рон Маймон

@QuantumDot: Я работаю над этим — проблема в том, что вы спрашиваете о правильном формализме для эффективного действия в фазе нарушенной симметрии. Головастики всегда сокращаются в эффективном действии, это условие того, что поле находится в минимуме эффективного действия, это верно в одной точке пространства m,\lambda, но это не полный ответ, потому что нужно получить последовательный поток РГ в пространстве, когда вы меняете связи, и головастик может изменить это. Проблема 1PI как раз и превращается в отношение подхода к критической точке с противоположных сторон. Это в Домб/Зеленый.

Ответы (3)

Собственная энергия, 1PI и головастики

Я не составил ответ, но если вы спешите, головастики вносят свой вклад только потому, что это вырожденная диаграмма с нулевым импульсом, проходящим через линию. Вам нужно иметь дело с контртермом линейного поля, который отменяет головастиков, и это раздражает формально, поэтому мне нужно выбрать схему и быть последовательным, чтобы дать реальный ответ, но доказательство 1PI проходит нормально, когда все строки несут нетривиальные импульс, так что нет головастиков, так что это единственное исключение, и в хорошей схеме исключений нет, потому что головастики отменяются линейным в поле контрчленом, фиксирующим VEV.
@QuantumDot: Я сделаю это, но, вероятно, меня опередят --- это хорошо известные вещи. Вы можете решить это самостоятельно, пройдя доказательство того, что эффективное действие — это диаграммы 1PI (это требует составления диаграмм с потоком импульса через линии, нулевой импульс на линии — исключительный случай из-за головастиков) и выработав отмену головастика с помощью контртермин линеен в поле, но написать ответ означает выбрать последовательную схему вычитания, а это требует блока свободного времени, которого у меня нет в данный момент (скоро).
@QuantumDot: Я работаю над этим — проблема в том, что вы спрашиваете о правильном формализме для эффективного действия в фазе нарушенной симметрии. Головастики всегда сокращаются в эффективном действии, это условие того, что поле находится в минимуме эффективного действия, это верно в одной точке пространства m,\lambda, но это не полный ответ, потому что нужно получить последовательный поток РГ в пространстве, когда вы меняете связи, и головастик может изменить это. Проблема 1PI как раз и превращается в отношение подхода к критической точке с противоположных сторон. Это в Домб/Зеленый.

Адам · Answer 1

Я собираюсь дать объяснение на уровне одной петли (такой порядок диаграмм указан в вопросе).

В одном цикле эффективное действие определяется выражением

Г [ф] знак равно С [ф] + \frac{1}{2 л} Т р журнал С^{(2)} [ф],

$\Gamma[\phi]=S[\phi]+\frac{1}{2l}{\rm Tr}\log S^{(2)}[\phi],$ куда

S [ϕ]

$S[\phi]$ - классическое (микроскопическое) действие,

l

$l$ это специальный параметр, введенный для подсчета порядка цикла (

l

$l$ установлен на

1

$1$ в конце),

S^{(n)}

$S^{(n)}$ это

n

$n$ функциональная производная по

ϕ

$\phi$ и трассировка ведется по импульсам (и частоте, если необходимо), а также по другим индексам (например, для модели O (N)).

Физическая ценность поля $\bar\phi$ определяется так, что

Г^{(1)} [\bar{ф}] знак равно 0.

$\Gamma^{(1)}[\bar\phi]=0.$ На уровне среднего поля (

O (l^{0})

$O(l^0)$ ),

{\bar{ϕ}}_{0}

$\bar\phi_0$ является минимумом классического действия

S

$S$ , т.е.

С^{(1)} [{\bar{ф}}_{0}] знак равно 0.

$S^{(1)}[\bar \phi_0]=0.$ В одну петлю,

\bar{ϕ} = {\bar{ϕ}}_{0} + \frac{1}{l} {\bar{ϕ}}_{1}

$\bar\phi=\bar\phi_0+\frac{1}{l}\bar\phi_1$ таков, что

С^{(1)} [\bar{ф}] + \frac{1}{2 л} Т р С^{(3)} [\bar{ф}] . {грамм}_{с} [\bar{ф}] знак равно 0, (1)

$S^{(1)}[\bar \phi]+\frac{1}{2l}{\rm Tr}\, S^{(3)}[\bar\phi].G_{c}[\bar\phi] =0,\;\;\;\;\;\;(1)$ куда

G_{c} [ϕ]

$G_c[\phi]$ является классическим пропагатором, определяемым формулой

S^{(2)} [ϕ] . G_{c} [ϕ] = 1

$S^{(2)}[\phi].G_c[\phi]=1$ . Точка соответствует матричному произведению (внутренние индексы, импульсы и т. д.). Второй срок в

(1)

$(1)$ соответствует диаграмме головастика в одной петле. Все еще с точностью до одной петли,

(1)

$(1)$ эквивалентно

С^{(1)} [{\bar{ф}}_{0}] + \frac{1}{л} ({\bar{ф}}_{1} . {\bar{С}}^{(2)} + \frac{1}{2} Т р {\bar{С}}^{(3)} . {\bar{грамм}}_{с}) знак равно 0, (2)

$S^{(1)}[\bar \phi_0]+\frac{1}{l}\left(\bar\phi_1.\bar S^{(2)}+\frac{1}{2}{\rm Tr}\, \bar S^{(3)}.\bar G_{c}\right)=0,\;\;\;\;\;\;(2)$ куда

{\bar{S}}^{(2)} \equiv S^{(2)} [{\bar{ϕ}}_{0}]

$\bar S^{(2)}\equiv S^{(2)}[\bar\phi_0]$ и т. д. Таким образом, мы находим

{\bar{ф}}_{1} знак равно - \frac{1}{2} {\bar{грамм}}_{с} . Т р {\bar{С}}^{(3)} . {\bar{грамм}}_{с} . (3)

$\bar \phi_1=-\frac{1}{2}\bar G_c.{\rm Tr}\,\bar S^{(3)}.\bar G_c. \;\;\;\;\;\;(3)$

Давайте теперь вычислим обратный пропагатор $\Gamma^{(2)}$ . На уровне среднего поля у нас есть пропагатор среднего поля, определенный выше. $G_c[\bar\phi_0]=\bar G_c$ что является обратным $S^{(2)}[\bar\phi_0]=\bar S^{(2)}$ . Это то, что обычно называют голым пропагатором. $G_0$ в теории поля и обобщается здесь на фазы с нарушенной симметрией.

Что такое обратный пропагатор в одной петле? Это дано

Г^{(2)} [\bar{ф}] знак равно С^{(2)} [\bar{ф}] + \frac{1}{2 л} Т р {\bar{С}}^{(4)} . {\bar{грамм}}_{с} - \frac{1}{2 л} Т р {\bar{С}}^{(3)} . {\bar{грамм}}_{с} . {\bar{С}}^{(3)} . {\bar{грамм}}_{с}, (4)

$\Gamma^{(2)}[\bar\phi]=S^{(2)}[\bar\phi]+\frac{1}{2l}{\rm Tr}\, \bar S^{(4)}.\bar G_{c}-\frac{1}{2l}{\rm Tr}\, \bar S^{(3)}.\bar G_{c}. \bar S^{(3)}.\bar G_{c}, \;\;\;\;\;\;(4)$ где мы уже использовали тот факт, что поле может быть установлено в

{\bar{ϕ}}_{0}

$\bar\phi_0$ в последних двух членах с точностью до одной петли. Эти два термина соответствуют первым двум диаграммам в вопросе ОП. Однако мы еще не закончили, и чтобы быть точным в одном цикле, нам нужно расширить

S^{(2)} [\bar{ϕ}]

$S^{(2)}[\bar\phi]$ заказать

1 / l

$1/l$ , который дает

Г^{(2)} [\bar{ф}] знак равно {\bar{С}}^{(2)} + \frac{1}{л} ({\bar{С}}^{(3)} . {\bar{ф}}_{1} + \frac{1}{2} Т р {\bar{С}}^{(4)} . {\bar{грамм}}_{с} - \frac{1}{2} Т р {\bar{С}}^{(3)} . {\bar{грамм}}_{с} . {\bar{С}}^{(3)} . {\bar{грамм}}_{с}) .

$\Gamma^{(2)}[\bar\phi]=\bar S^{(2)}+\frac{1}{l}\left(\bar S^{(3)}.\bar\phi_1+\frac{1}{2}{\rm Tr}\, \bar S^{(4)}.\bar G_{c}-\frac{1}{2}{\rm Tr}\, \bar S^{(3)}.\bar G_{c}. \bar S^{(3)}.\bar G_{c}\right). \;\;\;\;\;\;$ Используя уравнение

(3)

$(3)$ , мы нашли

{\bar{С}}^{(3)} . {\bar{ф}}_{1} знак равно - \frac{1}{2} {\bar{С}}^{(3)} . {\bar{грамм}}_{с} . Т р {\bar{С}}^{(3)} . {\bar{грамм}}_{с},

$\bar S^{(3)}.\bar\phi_1= -\frac{1}{2}\bar S^{(3)}.\bar G_c.{\rm Tr}\,\bar S^{(3)}.\bar G_c,$ что соответствует третьей диаграмме ОП. Вот как эти не-1PI-диаграммы генерируются в упорядоченной фазе, и они соответствуют перенормировке параметра порядка (из-за флуктуаций) в классическом пропагаторе.

Я также в конце концов понял, что решение моей проблемы заключается в тщательном подходе к расширению цикла. Этот ответ наиболее ясно дает ответ.
@QuantumDot: Совсем недавно у меня была такая же проблема, и я подумал, что было бы полезно написать где-нибудь подробный ответ. На самом деле, мне кажется, что стандартное определение 1PI (или 1PR) вводит в заблуждение (но нормально в стандартных случаях): оно должно быть таким: «1PI собственная энергетическая диаграмма — это диаграмма, которую нельзя разрезать на две собственные энергетические диаграммы». куски, разрезав любую внутреннюю линию». Вашу третью диаграмму можно разрезать на две части, но эти две не являются диаграммами собственной энергии , и поэтому она должна быть включена (это легче увидеть, если подумать о том, что делает уравнение Дайсона).
Действительно, стандартное определение немного вводит в заблуждение.

Хиггсс · Answer 2

(Я наткнулся на этот вопрос, просматривая категорию «без ответа». Не знаю, почему в списке появился вопрос 9-месячной давности, но, похоже, все еще есть место для моего вклада.)

Квантовое эффективное действие $\Gamma[\phi]$ генерирует диаграммы 1PI, и древовидный анализ на нем равнозначен полному анализу исходного действия $S[\phi]$ .

Сумма всех 2-точечных диаграмм 1PI - это то, что способствует (в дополнение к $p^{2}-m^{2}$ , которая также присутствует в исходном действии) к квадратичной части $\Gamma[\phi]$ . Если бы не было члена, линейного по $\phi$ в $\Gamma[\phi]$ , это будет сама энергия; однако, если $\Gamma[\phi]$ содержит линейный член, необходимо выполнить дополнительный расчет на уровне дерева, чтобы получить собственную энергию из $\Gamma[\phi]$ .

Что касается диаграмм Фейнмана в исходном посте, первые две вносят вклад в $\Gamma[\phi]$ , а третий появляется при расчете собственной энергии из $\Gamma[\phi]$ .

Qмеханик · Answer 3

Полная 2-точечная функция равна полной связанной 2-точечной функции плюс вклады головастиков:
$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} \frac{ℏ}{я} {грамм}^{к ℓ} знак равно & ⟨ ф^{к} ф^{ℓ} ⟩_{Дж знак равно 0} \\ знак равно & ⟨ ф^{к} ф^{ℓ} ⟩_{Дж знак равно 0}^{с} + ⟨ ф^{к} ⟩_{Дж знак равно 0} ⟨ ф^{ℓ} ⟩_{Дж знак равно 0} \\ знак равно & \frac{ℏ}{я} {Вт}_{с, 2}^{к ℓ} + {Вт}_{с, 1}^{к} {Вт}_{с, 1}^{ℓ} . \end{aligned}, \end{matrix}$ $\begin{align}\frac{\hbar}{i}G^{k \ell}~=~& \langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle_{J=0} \cr ~=~&\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle^c_{J=0} +\langle \phi^k \rangle_{J=0} \langle \phi^{\ell} \rangle_{J=0}\cr ~=~&\frac{\hbar}{i} W_{c,2}^{k \ell} +W_{c,1}^k W_{c,1}^{\ell}. \end{align} , \tag{1}$ ср. например, мой ответ Phys.SE здесь .
Собственная энергия
$\begin{matrix} (2) & Σ знак равно {грамм}_{0}^{- 1} - {грамм}_{с}^{- 1} \end{matrix}$ $\Sigma~=~G_0^{-1}-G_c^{-1}\tag{2}$ вообще состоит из соединенных диаграмм с 2 ампутированными ногами, так что 2 ноги нельзя разъединить, перерезав одну внутреннюю линию, ср. например, мой ответ Phys.SE здесь . Обратите внимание, в частности, что собственная энергия (2) может содержать не-1PI-диаграммы с головастиками.
Квадратичный член эффективного действия $\Gamma[\phi_{\rm cl}]$ читает
$\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} (Г_{2})_{к ℓ} знак равно & - ({Вт}_{с, 2}^{- 1})_{к ℓ} \\ - & {Вт}_{с, 3}^{п д р} ({Вт}_{с, 2}^{- 1})_{п к} ({Вт}_{с, 2}^{- 1})_{д ℓ} ({Вт}_{с, 2}^{- 1})_{р м} {Вт}_{с, 1}^{м} \\ + & О (({Вт}_{с, 1})^{2}), \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} (\Gamma_2)_{k\ell}~=~& ~-~(W^{-1}_{c,2})_{k\ell}\cr ~-~& W_{c,3}^{pqr}(W^{-1}_{c,2})_{pk}(W^{-1}_{c,2})_{q\ell}(W^{-1}_{c,2})_{rm}W^m_{c,1} \cr ~+~&{\cal O}((W_{c,1} )^2),\end{align}\tag{3}$ ср. например, мой ответ Phys.SE здесь .

И наоборот, полный/одетый связанный пропагатор читает
$\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} {грамм}_{с}^{к ℓ} знак равно & {Вт}_{с, 2}^{к ℓ} \\ знак равно & - (Г_{2}^{- 1})^{к ℓ} \\ - & Г_{3, п д р} (Г_{2}^{- 1})^{п к} (Г_{2}^{- 1})^{д ℓ} (Г_{2}^{- 1})^{р м} Г_{1, м} \\ + & О ((Г_{1})^{2}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} G_c^{k\ell}~=~&W_{c,2}^{k\ell}\cr ~=~& ~-~(\Gamma^{-1}_2)^{k\ell}\cr ~-~& \Gamma_{3,pqr}(\Gamma^{-1}_2)^{pk}(\Gamma^{-1}_2)^{q\ell}(\Gamma^{-1}_2)^{rm}\Gamma_{1,m}\cr ~+~&{\cal O}((\Gamma_1)^2).\end{align}\tag{4}$

$W_{c,2}^{k\ell}$ а также $-(\Gamma_2)_{k\ell}$ становятся инверсиями друг друга, когда нет головастиков $\Leftrightarrow W_{c,1}^k=0\Leftrightarrow \Gamma_{1,k}=0$ .

Собственная энергия, 1PI и головастики

Квантовая точка

Рон Маймон

Рон Маймон

Рон Маймон

Ответы (3)

Адам

Квантовая точка

Адам

Квантовая точка

Хиггсс

Qмеханик

Доказательство двухточечной функции геометрического ряда

Как гарантировать, что эффективное действие включает в себя все возможные квантовые поправки к классическому действию?

Почему для определения физической массы часто пренебрегают конечной частью собственной энергии?

Что такое классический лагранжиан? Голый или перенормированный? Являются ли контрчлены квантовыми поправками к перенормированному ларанжиану?

Как правильно понимать эти "1-частично-неприводимые вставки"?

Одноточечная функция и вакуумное среднее в ϕ4ϕ4\phi^4-теории

Определение классического поля, соответствующего квантовому полю

Одноконтурная коррекция эффективного действия

Разница между функцией вершины и собственной энергией

Разложение возмущения эффективного действия