Одноконтурная коррекция эффективного действия

Question

Одноконтурная коррекция эффективного действия

Физика
интеграл по путям
теория возмущений
1pi-эффективное действие
лагранжев формализм
квантовая теория поля

Саян Мандал

Это может быть глупый вопрос.

В работе Бейлина и Лава « Космология в калибровочной теории поля и теории струн » авторы описывают, как вычислить эффективный потенциал при конечной температуре. $T$ (Раздел 2.3 , стр. 42). Первоначально они начинают с обработки при нулевой температуре.

Они начинают со слов:

В квантовой теории поля при нулевой температуре среднее значение $\phi_c$ скалярного поля $\phi$ (называемое также классическим полем) определяется путем минимизации эффективного потенциала $V(\phi_c)$ . Эффективный потенциал содержит член потенциала на уровне дерева, который можно считывать из плотности гамильтониана, и квантовые поправки из различных порядков петель.

Я могу это понять. Однако они продолжают утверждать (с $\phi(x)=\phi_c+\tilde{\phi}(x)$ ),

Однопетлевая квантовая поправка рассчитывается сдвигом полей $\phi$ по их ожидаемым значениям $\phi_c$ и выделение терминов $\mathcal{L}_\mathrm{quad}(\phi_c,\tilde{\phi})$ в лагранжевой плотности, которые квадратичны по сдвинутым полям $\tilde{\phi}$ .

Это утверждение меня немного смущает. Почему мы выделяем только члены, квадратичные по $\tilde{\phi}$ , а не высшие силы? Могут быть условия самодействия; не вносят ли они вклад в однопетлевую коррекцию?

Артуро дон Хуан

Краткий ответ: это всего лишь приближение, приближение Гаусса/стационарной фазы. Если вы держите

ℏ

$\hbar$ размерный (т.е.

\neq 1

$\neq 1$ ), то можно также показать, что разложение является разложением по степеням

ℏ

$\hbar$ (то есть петли).

Ответы (2)

Одноконтурная коррекция эффективного действия

Краткий ответ: это всего лишь приближение, приближение Гаусса/стационарной фазы. Если вы держите $\hbar$ размерный (т.е. $\neq 1$ ), то можно также показать, что разложение является разложением по степеням $\hbar$ (то есть петли).

Кнчжоу · Answer 1

Этот результат можно увидеть на диаграмме. Эффективное действие вычисляется путем суммирования диаграмм 1PI. Термин $(\phi_c)^n \tilde{\phi}^m$ в эффективном действии соответствует вершине с $n$ $\phi_c$ ножки, являющиеся внешним классическим полем, и $m$ $\tilde{\phi}$ ноги, которые мы интегрируем и, следовательно, появляются во внутренних линиях.

Одним из примеров одноконтурного вклада является:

где я беззастенчиво украл графику из этих конспектов лекций . Здесь пунктирные линии обозначают $\tilde{\phi}$ ноги и сплошные линии представляют внешние $\phi_c$ ноги. Чтобы найти вклад в $(\phi_c)^n$ член эффективного потенциала, надо просуммировать по всем таким диаграммам с $n$ внешний $\phi_c$ ноги.

Обратите внимание, что на этой диаграмме все вершины имеют $m = 2$ , т.е. мы рассматриваем только квадратичные члены в $\tilde{\phi}$ . Вы можете убедиться, нарисовав несколько диаграмм, что для любых терминов более высокого порядка потребуется более одного цикла. Наличие линейных членов ( $m = 1$ ) может испортить этот подсчет, поэтому Бейлин и Лав расширяют свой круг по поводу классического минимума.

Qмеханик · Answer 2

Что однопетлевая квантовая коррекция

опыт (\frac{я}{ℏ} Г_{1-петля} [ф_{с л}]) \overset{(13)}{"="} Д е т {(\frac{1}{я} \frac{{дельта}^{2} С [ф_{с л}]}{дельта ф_{с л}^{к} дельта ф_{с л}^{ℓ}})}^{- 1 / 2}

$\exp\left(\frac{i}{\hbar}\Gamma_{\text{1-loop}}[\phi_{\rm cl}]\right) ~\stackrel{(13)}{=}~ {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 S[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\right)^{-1/2}$

\overset{Гаусс. внутр.}{\sim} \int Д \frac{η}{\sqrt{ℏ}} опыт (\frac{я}{2 ℏ} η^{к} \frac{{дельта}^{2} С [ф_{с л}]}{дельта ф_{с л}^{к} дельта ф_{с л}^{ℓ}} η^{ℓ})

$~\stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}~\int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left(\frac{i}{2\hbar}\eta^k \frac{\delta^2 S[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\eta^{\ell} \right)$

"=" \int Д \frac{η}{\sqrt{ℏ}} опыт ({\frac{я}{ℏ} С [ф_{с л} + η] |}_{квадратичный в η})

$~=~ \int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left(\left.\frac{i}{\hbar} S[\phi_{\rm cl}+\eta]\right|_{\text{quadratic in }\eta} \right)$

к эффективному/правильному действию $\Gamma[\phi_{\rm cl}]$ определяется определителем гессиана действия $S$ например, доказано в уравнении. (13) в моем ответе Phys.SE здесь . Это доказательство основывалось на приближении стационарной фазы/ВКБ, что, в свою очередь, объясняет, почему только квадратичные флуктуации $\eta$ способствовать.

Спасибо за очень полезные ссылки. Это делает это очень ясным.

Одноконтурная коррекция эффективного действия

Саян Мандал

Артуро дон Хуан

Ответы (2)

Кнчжоу

Qмеханик

Саян Мандал

Путаница с расчетом эффективного действия 1PI с использованием интегралов по путям

В каком смысле правильное/эффективное действие Γ[ϕc]Γ[ϕc]\Gamma[\phi_c] является квантово-скорректированным классическим действием S[ϕ]S[ϕ]S[\phi]?

Доказательство того, что эффективное / правильное действие является производящим функционалом одночастичных неприводимых (1PI) корреляционных функций.

Разложение возмущения эффективного действия

Определяющее квантовое эффективное/собственное действие (преобразование Лежандра), существование обратного (поля-источника)?

Как вычислить квантовое эффективное действие из диаграмм Фейнмана 1PI?

Если :V(ϕ)::V(ϕ):: V(\phi) : нелокальна в пространстве, означает ли это, что взаимодействующая квантовая теория поля нелокальна?

«Найти лагранжиан теории»

Вывод равенства δϕ(x)|0⟩\frac{\delta\Gamma[\phi_c]}{\delta\phi_c(x)}=0=\langle 0|\frac{\delta S[\phi,J]}{\ дельта\фи(х)}|0\угол?

Эквивалентность канонического квантования и квантования интеграла по путям