Собственное значение оператора создания когерентного состояния [закрыто]

Для согласованного государства

| α ⟩ "=" е − | α | 2 2 ∑ н α н н ! | н ⟩
Я не могу решить проблему собственных значений для а ^ † | α ⟩ где а ^ † является оператором создания. Я могу только получить это далеко

а ^ † | α ⟩ "=" е − | α | 2 2 ∑ н α н н ! а ^ † | н ⟩ "=" е − | α | 2 2 ∑ н α н н ! н + 1 | н + 1 ⟩

В конце концов, я хочу вычислить ⟨ α | а а ^ † | α ⟩ , но я не знаю а ^ † | α ⟩ .

Вы знаете результат, что оператор создания действует на собственное состояние | н > , затем просто просуммируйте все результаты.
Я сделал. Но потом я застрял оттуда позже.
@qfzklm результат сильно упрощается? например, является ли полученная сумма хорошо известной?
@TBBT, какой результат вы ожидаете найти? | α ⟩ не является собственной функцией оператора создания - вы ничего не найдете ∝ | α ⟩ . Вы хотите знать, упрощается ли сумма?
Я хочу рассчитать это, ⟨ α | а а † | α ⟩ . Но я не знаю, что а † | α ⟩ является.
@TBBT попробуйте использовать коммутационные отношения, чтобы получить а | α ⟩ ?

Ответы (3)

Чтобы добавить к правильному ответу Innisfree , я хотел бы подчеркнуть то, что OP, похоже, не знает, а именно то, что оператор создания не имеет собственных векторов (и, следовательно, собственных значений). Это легко увидеть: запишите общее состояние в виде вектора-строки ( ψ 0 , ψ 1 , ⋯ ) весов суперпозиции для числовых состояний | 0 ⟩ , | 1 ⟩ , ⋯ и в этих обозначениях наше уравнение на собственные значения (в λ ) для а † является:

а † ( ψ 0 , ψ 1 , ⋯ ) "=" ( 0 , ψ 0 , 2 ψ 1 , 3 ψ 2 , ⋯ ) "=" λ ( ψ 0 , ψ 1 , ⋯ )

откуда мы получаем λ ψ н "=" н ψ н − 1 и λ ψ 0 "=" 0 . Если λ "=" 0 сразу следует, что ψ н "=" 0 ∀ н е Н . Если λ ≠ 0 , затем ψ 0 "=" 0 , откуда (по индукции по ψ н "=" н ψ н − 1 / λ ) ψ н "=" 0 ∀ н е Н . Следовательно, не существует нормализуемой суперпозиции числовых состояний, которая является собственным вектором для а † . Поэтому неудивительно, что у ОП возникли трудности!

Это тоже есть в моем ответе ;) это то же самое, что комментарий «Вы можете быстро увидеть ...»
@innisfree А, извините, я пропустил это. Я просто хотел немного больше подчеркнуть OP (потому что я могу вспомнить на одном этапе, предполагая, что оператор создания будет иметь собственный вектор). Несомненно, он/она вспомнит об отсутствии собственных векторов оператора созидания после сегодняшнего дня.
Не беспокойтесь, полезно, что вы подчеркнули это немного больше, чем я.
«Вы можете быстро увидеть» — это хорошо, но иногда полезно иметь полное изложение вещей. Я нашел этот ответ полезным.

Когерентное состояние — это, среди прочего, собственное состояние оператора уничтожения . Это не собственное состояние оператора создания; следовательно, я не уверен, что эта «проблема собственных значений» имеет большой смысл.

Это легко осознать. Вы можете быстро увидеть, что ⟨ 0 | а † | α ⟩ "=" 0 , тогда как ⟨ 0 | α ⟩ ≠ 0 .

Если вы действительно хотите найти ⟨ α | а а † | α ⟩ в например

⟨ Икс 2 ⟩ ∝ ⟨ α | ( а + а † ) ( а + а † ) | α ⟩
вы можете коммутировать операторов а и а † с правилом [ а , а † ] "=" 1 , такой, что
⟨ α | а а † | α ⟩ "=" ⟨ α | а † а | α ⟩ + 1 "=" 1 + | α | 2
Вы также можете проверить это, действуя операторами.

Ты прав. Тем не менее, я все еще не могу вычислить, ⟨ α | а а † | α ⟩ . Мне нужно решить кое-что в домашнем задании, похожее на это, ⟨ α | а а | α ⟩ + ⟨ α | а † а † | α ⟩ + ⟨ α | а а † | α ⟩ + ⟨ α | а † а | α ⟩
Я могу решить три условия из четырех выше, но не ⟨ α | а а † | α ⟩
Я думаю, что это довольно просто - просто коммутировать операторов. Смотрите мой отредактированный ответ.
Вау, не могу поверить, что я не мог этого видеть. Большое спасибо!

Используя определение оператора создания, а † "=" с ( м ю Икс ^ − я п ^ ) где с является константой, и п ^ "=" − я ℏ ∂ Икс , вы можете записать проблему собственных значений в позиционном представлении как

( м ю Икс − ℏ ∂ Икс ) ψ "=" α ψ .
Вы можете решить это дифференциальное уравнение, чтобы найти
ψ "=" С опыт ⁡ ( м ю Икс 2 / ℏ − α Икс / ℏ )
что явно не нормализуется. Следовательно, оператор рождения не имеет нормируемых собственных состояний.

Собственное значение оператора создания когерентного состояния [закрыто]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v