Соглашения о знаках потенциальной энергии

Я думаю, вы просто забыли, что$\int_A^B F\,dl$не является скалярным выражением. Скорее, это должно быть записано в форме$\int_A^B \vec{F}\cdot d\vec{l}$. Затем дело доходит до знака скалярного произведения:

$W_{A \to B}=\int_{r_A}^{r_B} F(r) dr = \int_{r_A}^{r_B} \left(-\frac{GMm}{r^2} \right)dr$

путь мог идти с любым уклоном, но сила тяжести всегда направлена ​​вниз, вдоль$r$ось. Это означает, что мы всегда можем взять$(\pi-\theta)$как угол между вектором$d\vec{l}$и$r$ось, то есть

Для вашего второго примера:

...мы также должны изменить знак, потому что сила гравитации всегда является силой притяжения .

на самом деле авторы имеют в виду следующее: силы Кулона и Ньютона имеют совершенно одинаковые выражения, но правила знаков для них разные. Сила Ньютона определяется тем, что если все величины ($M$,$m$и$r$) положительны , то вектор силы направлен к другому телу . Но для кулоновской силы, если все величины ($q_1$,$q_2$и$r$) положительны , то вектор силы направлен от другого заряда . Это становится очевидным, если мы возьмем векторные выражения для этих сил:

"...от точки$A$В точку$B$..." - ...как я понимаю - работа, которую я должен делать всегда$U_B-U_A$. Однако работа, которую совершает сила , создаваемая полем, всегда$U_A-U_B$, я прав?

Да, это правильно.

Мнемоническое правило очень простое:$U$как высота склона. Когда ты поднимаешься,$U_B>U_A$, а работу выполняете вы. Но когда ты спускаешься,$U_A>U_B$, и именно сила поля выполняет работу.

Давайте возьмем это с самого начала. Что такое кинетическая энергия ,$KE$?

Для одной частицы это$\frac{mv^2}{2}$, а для системы частиц это$\Sigma\large\frac{mv_i^2}{2}$для всех$i$частицы.

Как теперь изменить кинетическую энергию частицы? Для этого вам придется изменить$|v|$, и для этого вы должны применить силу .

Тогда, как рассчитать, сколько$\Delta KE$то есть зная путь частицы?

Ответ на это: найти$\int^b_a \vec{F}\cdot d\vec{s}$, где$d \vec{s}$является бесконечно малым вектором переноса вдоль пути, т. е. в направлении приложения силы , но вы должны знать путь заранее.

Этот интеграл и есть то, что мы называем Работой. Это всего лишь цифра. Мы могли бы также назвать это «изменением кинетической энергии силой», но «работа» звучит лучше.

Ограничение работы: вы не можете предсказать путь, по которому когда-либо работали.

Макроскопически существует два типа сил : консервативные силы и неконсервативные силы.

Закон: Энергия (также число) изолированной системы сохраняется.

Консервативные силы по определению таковы, что между любыми двумя фиксированными точками, независимо от того, по какому пути вы совершаете работу, расчет не зависит от пути. Для неконсервативных сил работа зависит от пути.

Теперь мы знаем, что энергия изолированной системы постоянна, и «источник силы» приложит либо неконсервативную, либо консервативную силу, и какая бы энергия ни была получена движущимся телом, источник потеряет такое же количество энергии. .

Предположим, вы применяете неконсервативную силу и берете объект из$A$к$B$, ваша работа зависит от пути; существует бесконечное количество возможностей того, сколько энергии вы потеряете (получите, если$\Delta KE$является отрицательным).

Но для консервативной силы есть только одна возможность, поскольку работа (или, что то же самое,$\Delta KE$) не зависит от пути. Таким образом, источник, применяющий консервативную силу, всегда будет терять/приобретать одинаковое количество энергии, если вы берете его из$A$к$B$какой бы путь ты ни выбрал.

Таким образом, мы можем назвать это изменение энергии консервативной силой: потенциальной энергией или символически$\Delta U$(показывая потенциал источника). Теперь только вы можете вычислить$\Delta U$.

А теперь подумайте: энергия, потерянная источником, равна энергии, полученной движущимся объектом, поэтому мы можем сказать:$-\Delta U = Work = \Delta KE$, напомнив, что$\Delta U + \Delta KE = 0$от сохранения энергии.

И это единственное определение разности потенциальной энергии . Потенциальная энергия ничто, значение имеют только изменения потенциальной энергии.

И когда учебники ссылаются на потенциальную Энергию, они рассчитывают изменения, присваивая$U_{\infty}$как$0$поскольку имеет значение только изменение, вы можете выбрать любую точку с нулевым потенциалом, и чистое изменение будет автоматически скорректировано.

И это изменение потенциальной энергии можно физически увидеть как изменение поля силы в пространстве, или сжатие пружины и т.д.

Также см. Здесь: Вывод электростатической потенциальной энергии.

«Ну и что, если это сила притяжения? Как это должно повлиять на наши расчеты?»

Потому что вы записали соотношение работы и энергии неполной стенографией. Правильная версия,

Эта связь является источником всех таинственных изменений знака, которые сбивают вас с толку. В гравитации сила между двумя телами всегда направлена ​​в направлении меньшего расстояния, но в электростатике она может быть направлена ​​в любую сторону в зависимости от знака произведения зарядов.

Знак минус был поставлен там, когда мы создали механическую энергию. Возьмите$\int \vec{F}\cdot\vec{dr}$. Это неопределенный интеграл. Если вычесть этот интеграл из самого себя, он даст константу, потому что неопределенный интеграл определен с точностью до константы.

Таким образом,

$c = \int \vec{F}\cdot d\vec{r} - \int \vec{F}\cdot d\vec{r}$

Вычислите первый член, подставив в$\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{\vec{dv}}{dt}$и$d\vec{r} = \vec{v}dt$. Ты получишь$\frac{1}{2}mv^2$Вычислить второй член точно, когда это возможно.

$c = \underbrace{\frac{1}{2}mv^2}_{T} \underbrace{- \int \vec{F}\cdot d\vec{r}}_{+V}$

Мы случайно назвали эту константу энергией. Вот почему перед потенциалом стоит знак минус.

Что касается работы, которую вам нужно сделать, вы должны рассчитать$W = \int \vec{F}\cdot\vec{dr}$где сила - это сила, которую вы прикладываете, чтобы привести частицу из точки А в точку Б. Чтобы узнать, является ли это Ua - Ub или Ub-Ua, нужно проверить, как они ее рассчитали. Это не всегда то же самое в книгах по электромагнетизму. Некоторые любят брать$d\vec{r}$путь, идущий наружу от точечного заряда или входящий.$\int\vec{F}\cdot d\vec{r}$где$\vec{F}$это сила, которую вы применяете на своем пути, вы никогда не ошибетесь.