Что это значит?

Причина, по которой они консервативны или неконсервативны, связана с расщеплением производных. Рассмотрим консервативную производную:

Когда мы дискретизируем это, используя простую числовую производную только для того, чтобы подчеркнуть суть, мы получаем:

Теперь, в неконсервативной форме, производная делится на:

Используя ту же численную аппроксимацию, получаем:

Итак, теперь вы видите (надеюсь!) некоторые проблемы. Хотя исходная производная математически одинакова, дискретная форма отличается. Особую трудность представляет выбор членов, умножающих производную. Вот я взял его в точку$i$, но это$i-1$лучше? Может быть, в$i-1/2$? Но тогда как мы получим его в$i-1/2$? Простое среднее? Реконструкции более высокого порядка?

Эти аргументы просто показывают, что неконсервативная форма отличается и в некотором смысле сложнее, но почему она называется неконсервативной? Чтобы производная была консервативной, она должна образовывать телескопический ряд . Другими словами, когда вы суммируете члены по сетке, должны остаться только граничные члены, а искусственные внутренние точки должны компенсироваться.

Итак, давайте посмотрим на обе формы, чтобы увидеть, как они работают. Предположим, что сетка состоит из 4 точек, начиная от$i=0$к$i=3$. Консервативная форма расширяется как:

Вы можете видеть, что когда вы складываете все это, вы получаете только граничные условия ($i = 0$а также$i = 3$). Внутренние точки,$i = 1$а также$i = 2$отменили.

Теперь давайте посмотрим на неконсервативную форму:

Итак, теперь у вас нет отмены условий! Каждый раз, когда вы добавляете новую точку сетки, вы добавляете новый член, и количество членов в сумме растет. Другими словами, то, что приходит, не уравновешивает то, что уходит, поэтому это неконсервативно.

Вы можете повторить анализ, играя с изменением координаты этих терминов вне производной, например, попробовав$i-1/2$где это просто среднее значение в$i$а также$i-1$.

Как выбрать, что использовать?

Теперь, более конкретно, когда вы хотите использовать каждую схему? Если ожидается, что ваше решение будет гладким, то может сработать неконсервативное решение. Для жидкостей это безскачковые течения.

Если у вас есть удары, или химические реакции, или любые другие острые границы раздела, тогда вы хотите использовать консервативную форму.

Есть и другие соображения. Многие реальные инженерные ситуации на самом деле любят неконсервативные схемы при решении задач с ударами. Классическим примером является схема Мурмана-Коула для уравнений трансзвукового потенциала. Он содержит переключатель между центральной и противопоточной схемой, но оказывается неконсервативным.

В то время, когда он был представлен, он получил невероятно точные результаты. Результаты, которые были сопоставимы с полными результатами Навье-Стокса, несмотря на использование уравнений потенциала, которые не содержат вязкости. Они обнаружили свою ошибку и опубликовали новую статью, но результаты оказались намного «хуже» по сравнению с исходной схемой. Оказывается, что несохранение ввело искусственную вязкость, заставив уравнения вести себя больше как уравнения Навье-Стокса за крошечную часть стоимости.

Излишне говорить, что инженерам это понравилось. «Лучшие» результаты при значительно меньших затратах!

Вы показываете уравнения Эйлера, сокращенные формы уравнений Навье-Стокса, которые являются законами сохранения массы, импульса и энергии наряду с гипотезой Стокса. Итак, консервативный/неконсервативный не имеет ничего общего с законами сохранения.

В консервативной форме вы можете сразу интегрировать производные один раз на контрольном объеме и сохранить величины потока через контрольные поверхности (т. е. метод конечных объемов). Это консервативная и неконсервативная форма (поток).

В алгоритмах CFD форма имеет важное значение для размещения ударных волн и скоростей распространения. Для сжимаемых потоков вы хотите использовать консервативные формы (где у вас есть толчки).

Одна важная причина (возможно, не единственная) для обозначения «консервативной» и «неконсервативной» форм уравнений сохранения связана с их численным решением. При записи в консервативной форме после дискретизации дифференциального уравнения численным методом, таким как метод конечных объемов, результирующее алгебраическое уравнение по-прежнему придерживается принципа сохранения, независимо от размера конечного объема. Другими словами, в алгебраическом уравнении все еще можно увидеть баланс сохраняющейся переменной (массы, импульса, концентрации частиц). С другой стороны, когда уравнение в неконсервативной форме дискретизируется, скажем, методом конечных разностей или методом конечных элементов, сохранение гарантируется только при уточнении числовой сетки. В этом случае баланс нельзя увидеть в алгебраическом, дискретное уравнение. Следовательно, эта метка имеет смысл только при работе с уравнениями сохранения. Бессмысленно пытаться написать дифференциальное уравнение, не имеющее отношения к принципу сохранения, в консервативной или неконсервативной форме.

Все ответы хороши, но те не отвечают на вопрос. Вопрос очень простой и гласит:

Вопрос: когда математическая модель называется консервативной, а когда неконсервативной?

О: математическая модель называется консервативной, когда она непосредственно вытекает из сохранения математических величин в пределах контрольного объема, т.е. из закона сохранения.

Более подробно, если помимо простого сохранения (т. е. сохранения массы или импульса) мы также применяем цепное правило , то мы получаем неконсервативную математическую модель, названную так потому, что она больше не описывает сохранение величины в контрольном объеме, поскольку она не вытекает непосредственно из закона сохранения. Но разве эти две формулировки не эквивалентны? НЕТ!!! Они эквивалентны, только если решение непрерывно. Мы не можем применить цепное правило, если решение не является непрерывным! Следовательно, неконсервативная форма не может правильно описать распространение разрывов (т.е. скачков). См . книгу Торо для более подробной информации.

Резюмируя: речь идет о математической модели, а не о численной дискретизации. Очевидно, что существует сильная связь между числовой и математической моделью, и все остальные ответы великолепны. Но они не отвечают на вопрос.