Сохранение линейного и углового момента

Question

Сохранение линейного и углового момента

пользователь1225999

Предположим, у меня есть два твердых тела A и B, и они соединены пружиной, которая прикреплена не по центру (таким образом, возможно, создавая крутящие моменты). Из-за пружины сила $f$ действует на А и сила $-f$ действует на В (в соответствующих точках крепления) в направлении пружины, как показано на рис. 1. Как можно показать сохранение количества движения? $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B = 0$ (где $p_A$ и $p_B$ - линейные моменты A и B соответственно) отсутствует угловая часть и $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B + L_A + L_B = 0$ (где $L_A$ и $L_B$ представляют собой угловые моменты A и B вокруг их центра масс соответственно) кажется неверным. Является $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B + L_A^0 + L_B^0 = 0$ (где $L_A^0$ и $L_B^0$ угловые моменты A и B вокруг начала координат соответственно) правильный анзац?

Что, если силы противоположны, но не по направлению пружины, как на рис. 2?

Рис. 1: Противоположные силы вдоль линии между точками, где действуют силы.

Рис. 2: Противоположные силы, но *не* вдоль линии между точками, где действуют силы.

Рис. 2: Противоположные силы, но не вдоль линии между точками, где действуют силы.

пользователь1225999

Поскольку линейный и угловой момент имеют разные единицы измерения, приведенный выше анзац, безусловно, неверен. Скорее линейный и угловой моменты сохраняются отдельно:

\frac{d}{d t} p_{A} + p_{B} = 0

$\frac{\rm d}{\rm dt}p_A + p_B = 0$ и

\frac{d}{d t} L_{A}^{0} + L_{B}^{0} = 0

$\frac{\rm d}{\rm dt}L_A^0 + L_B^0 = 0$ .

пользователь1225999

Сохранение импульса для случая 1 есть

\frac{d}{d t} p_{A} + p_{B} = f_{A} + f_{B} = f - f = 0

$\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B = f_A + f_B = f - f = 0$ а сохранение углового момента равно

\frac{d}{d t} L_{A}^{0} + L_{B}^{0} = \frac{d}{d t} L_{A} + L_{B} + x_{A} \times p_{A} + x_{B} \times p_{B} = τ_{A} + τ_{B} + x_{A} \times f_{A} + x_{B} \times f_{B} = r_{A} \times f - r_{B} \times f + x_{A} \times f - x_{B} \times f = (x_{A} + r_{A} - x_{B} - r_{B}) \times f = 0

$\frac{\rm d}{\rm dt} L_A^0 + L_B^0 = \frac{\rm d}{\rm dt} L_A + L_B + x_A \times p_A + x_B \times p_B = \tau_A + \tau_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B = r_A \times f - r_B \times f + x_A \times f - x_B \times f = (x_A + r_A - x_B - r_B) \times f = 0$

пользователь1225999

Однако для второго случая

x_{A} + r_{A} - x_{B} - r_{B}

$x_A + r_A - x_B - r_B$ не параллельна

f

$f$ и, таким образом, кажется, что угловой момент не сохраняется.

Ответы (3)

Сохранение линейного и углового момента

Поскольку линейный и угловой момент имеют разные единицы измерения, приведенный выше анзац, безусловно, неверен. Скорее линейный и угловой моменты сохраняются отдельно: $\frac{\rm d}{\rm dt}p_A + p_B = 0$ и $\frac{\rm d}{\rm dt}L_A^0 + L_B^0 = 0$ .
Сохранение импульса для случая 1 есть $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B = f_A + f_B = f - f = 0$ а сохранение углового момента равно $\frac{\rm d}{\rm dt} L_A^0 + L_B^0 = \frac{\rm d}{\rm dt} L_A + L_B + x_A \times p_A + x_B \times p_B = \tau_A + \tau_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B = r_A \times f - r_B \times f + x_A \times f - x_B \times f = (x_A + r_A - x_B - r_B) \times f = 0$
Однако для второго случая $x_A + r_A - x_B - r_B$ не параллельна $f$ и, таким образом, кажется, что угловой момент не сохраняется.

Адам Редвин · Answer 1

Угловой и линейный импульс двух масс A и B не обязательно сохраняются по отдельности; это импульсы системы $S_{AB}$ что сохраняется. Если вы знаете состояние системы в любой конкретный момент времени $t$ , нарисуйте диаграмму свободного тела и определите импульсы системы. Зная, что эти значения сохраняются, вы можете использовать их в качестве условий, помогающих найти силы, действующие на систему, в любое другое время.

ДариоП · Answer 2

Чтобы доказать сохранение величин, вам нужно уметь вычислять движение системы, чтобы можно было напрямую вычислить эти величины по координатам, зависящим от времени, и убедиться, что они не меняются со временем.

Однако я не думаю, что движение этой системы интегрируемо: оно выглядит как кратный осциллятор и очень склонно к развитию хаотического движения (как двойной маятник ), поэтому я боюсь, что сохранение импульсов должно быть предполагается.

Если вы просто искали способ записать это, я предлагаю:

{\begin{cases} \frac{г}{г т} (п_{А} + п_{Б}) "=" 0 \\ \frac{г}{г т} (л_{А} + л_{Б} + л_{А}^{0} + л_{Б}^{0}) "=" 0 \end{cases}

$\left\{\begin{array}{l} \frac{\rm d}{\rm dt}\Big( p_A + p_B \Big)= 0\\ \frac{\rm d}{\rm dt}\Big( L_A+L_B + L_A^0 + L_B^0 \Big)= 0 \end{array}\right.$

который должен учитывать все возможные движения компонентов системы. Ты можешь взять $L_A^0$ и $L_B^0$ относительно центра масс или любой другой внешней неподвижной точки.

Наконец, у меня есть комментарий к рис. 2, который не представляет разумного полного физического случая. Эти две несогласованные силы создают крутящий момент из ничего внутри системы! Вы не должны быть в состоянии найти такой случай в природе.

пользователь1225999 · Answer 3

Угловой момент $L_{A/B}$ твердого тела $A/B$ относительно его центра масс

л_{А / Б} "=" я_{А / Б} ю_{А / Б},

$L_{A/B} = I_{A/B} \omega_{A/B},$

где $I_{A/B}$ матрица инерции $A/B$ относительно его центра масс в мировой системе отсчета и $\omega_{A/B}$ угловая скорость $A/B$ . Угловой момент $L_{A/B}^0$ твердого тела $A/B$ о происхождении мировой рамки

л_{А / Б}^{0} "=" л_{А / Б} + {Икс}_{А / Б} \times п_{А / Б},

$L_{A/B}^0 = L_{A/B} + x_{A/B} \times p_{A/B},$

где $x_{A/B}$ - координаты центра масс в мировой системе отсчета. Тогда полный момент количества движения в системе с твердыми телами $A$ и $B$ о происхождении мировой рамки $L_{total}^0 = L_A^0 + L_B^0$ , который якобы законсервирован. Полный линейный импульс равен $p_{total} = p_A + p_B$ .

Полный импульс сохраняется, как только силы $f_A$ и $f_B$ имеют одинаковую величину и противоположное направление ( $f_A = f = -f_B$ ):

\frac{г}{г т} (п_{А} + п_{Б}) "=" м_{А} {\dot{в}}_{А} + м_{Б} {\dot{в}}_{Б} "=" ф_{А} + ф_{Б} "=" ф - ф "=" 0,

$\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} ( p_A + p_B ) = m_A \dot{v}_A + m_B \dot{v}_B = f_A + f_B = f - f = 0,$

где $v_{A/B}$ поступательная скорость $A/B$ в мировой рамке. Производная полного углового момента по времени равна

\begin{aligned} \frac{г}{г т} (л_{А}^{0} + л_{Б}^{0}) & "=" \frac{г}{г т} (л_{А} + л_{Б} + {Икс}_{А} \times п_{А} + {Икс}_{Б} \times п_{Б}) "=" {\dot{л}}_{А} + {\dot{л}}_{Б} + {Икс}_{А} \times {\dot{п}}_{А} + {Икс}_{Б} \times {\dot{п}}_{Б} \\ "=" т_{А} + т_{Б} + {Икс}_{А} \times ф_{А} + {Икс}_{Б} \times ф_{Б} "=" р_{А} \times ф_{А} + р_{Б} \times ф_{Б} + {Икс}_{А} \times ф_{А} + {Икс}_{Б} \times ф_{Б} \\ "=" ({Икс}_{А} + р_{А} - {Икс}_{Б} - р_{Б}) \times ф . \end{aligned}

$\begin{split} \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} ( L_A^0 + L_B^0 ) & = \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} (L_A + L_B + x_A \times p_A + x_B \times p_B) = \dot{L}_A + \dot{L}_B + x_A \times \dot{p}_A + x_B \times \dot{p}_B \\ & = \tau_A + \tau_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B = r_A \times f_A + r_B \times f_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B \\ & = (x_A + r_A - x_B - r_B) \times f. \end{split}$

Таким образом, полный угловой момент сохраняется, если:

$x_A + r_A - x_B - r_B = 0$ , то есть пара сил действует в одних и тех же координатах в мировой системе координат,
$f = 0$ , то есть сила не действует,
$(x_A + r_A - x_B - r_B)\ ||\ f$ , то есть сила действует вдоль линии соединения.

Рис. 1 удовлетворяет условию № 3 и, таким образом, сохраняет полный угловой момент. Рис. 2 не удовлетворяет ни одному из трех условий и, следовательно, не сохраняет полный угловой момент.

Изменить: сообщение SO Всегда ли сохраняется угловой момент в отсутствие внешнего крутящего момента? содержит доказательство для точечных частиц, которое имеет аналогичное требование сохранения (сил вдоль линии соединения). Автор доказательства уже исправил его.

Сохранение линейного и углового момента

пользователь1225999

пользователь1225999

пользователь1225999

пользователь1225999

Ответы (3)

Адам Редвин

ДариоП

пользователь1225999

Преобразование углового момента в линейный импульс в свободном пространстве

Сохранение углового момента для твердых тел.

Сохранение модуля импульса вдоль траектории

Масса, висящая под столом: проблема от Гольдштейна [закрыто]

Можно ли таким образом найти момент импульса любого твердого тела (симметричного или несимметричного)?

Вывод p=mvp=mvp = mv из трансляционной симметрии (закон сохранения импульса)?

Упругое столкновение вращающихся тел

Интегралы движения свободной частицы

Предсказание направления движения после столкновения

Сохранение углового момента при приложении импульса