Сохранение модуля импульса вдоль траектории

Если вы знаете о векторах, то все, что вам нужно, это законы движения Эйлера для твердого тела.

1. Для линейного движения есть $$\begin{aligned} \vec{p} &= m\, \vec{v}_{\rm cm} \\ \sum \vec{F} &= m\, \vec{a}_{\rm cm} \end{aligned}$$
2. Для углового движения есть $$\begin{aligned} \vec{L}_{\rm cm} &= I\, \vec{\omega} \\ \sum \vec{M}_{\rm cm} &= I\, \vec{\alpha} + \vec{\omega}\times I \vec{\omega} \end{aligned}$$
3. При любой связи сила реакции не действует, и, следовательно,$\vec{F} \cdot \vec{v} =0$

Теперь вы можете решить любую задачу механики твердого тела без трения и контактов.

Не получая особого интереса или понимания к этому вопросу (может быть, он плохо сформулирован?), Я пытаюсь ответить на него сам. Я не решался сделать это, потому что, не имея никакого контакта с такого рода математикой в ​​течение очень долгого времени, у меня была ограниченная уверенность в моей собственной формальной компетентности. Комментарии и альтернативные ответы, конечно, приветствуются.

Основная идея состоит в том, что мы рассматриваем задачи, в которых известна траектория движения массы. Например, это может быть обеспечено рельсовой или трубопроводной системой, или это известно по какой-либо другой причине.

Я пытаюсь подчеркнуть, что когда траектория известна, какой бы она ни была, то ускорение, ортогональное движению, не имеет значения, поскольку оно служит только для ориентации скорости, а она уже известна из траектории. Таким образом, скорость можно анализировать, рассматривая только тангенциальное ускорение, и, в частности, она сохраняется, когда тангенциальное ускорение отсутствует.

Формально во время$t$, у нас есть$\vec{a}=\vec{a_T}+\vec{a_C}$где$\vec{a_T}$тангенциальное ускорение, а$\vec{a_C}$это центростремительное ускорение (см. рисунок из Википедии , где я также нашел подсказки для этого ответа ).

Мы определяем единичный вектор$\vec{u_T}$ориентировать касательную к траектории во времени$t$в направлении скорости$\vec{v}$:$\;\,\vec{u_T}=\vec{v}/v$, где$v$это скорость.

Позволять$a_T$быть алгебраическим значением$\vec{a_T}$на ориентированной касательной. Таким образом, мы имеем по определению проекции:$a_T=\vec{a}.\vec{u_T}$

Теперь мы докажем, что$a_T=dv/dt$

С$\vec{v}=v\vec{u_T}$, имеем дифференцированием$\vec{a}=d\vec{v}/dt=(dv/dt)\vec{u_T}+v(d\vec{u_T}/dt)$

По формулам Френе-Серре ,$d\vec{u_T}/dt=(v/r)\vec{u_C}$, где$r$- текущий радиус кривизны, а$\vec{u_C}$ортогональна касательной траектории.

Отсюда тангенциальная проекция$\vec{a}$является первым членом суммы, т.е.$\vec{a_T}=(dv/dt)\vec{u_T}$.

Таким образом$a_T=\vec{a_T}.\vec{u_T}=(dv/dt)\vec{u_T}.\vec{u_T}=dv/dt$.

Что дает наконец:$dv/dt=a_T=\vec{a}.\vec{u_T}$

Если тангенциальное ускорение отсутствует, то$dv/dt=0$, что означает, что скорость на траектории постоянна.

Если на траектории есть некоторое ускорение, то изменение скорости между двумя точками А и В равно$\int_{t_A}^{t_B}{\vec{a(t)}.\vec{v(t)}dt/v(t)}$, т.е.$\int_{t_A}^{t_B}{a_T(t)dt}$.

Этот результат может упростить анализ некоторых задач, где траектория каким-то образом фиксирована и известна. Анализ может быть основан исключительно на скорости вдоль траектории и ее изменении за счет тангенциального ускорения, если можно пренебречь вращением массы на самой себе.

Примером может служить анализ движения американских горок по петле.

Что я имел в виду под угловым моментом, так это то, что он может стать неявным в анализе, поскольку рассматривается только скорость (или линейный импульс), даже когда траектория является круговой.

Однако последнее замечание моего вопроса не совсем точно. Это не обязательно должна быть динамика с одной массой, т. е. фактически сведенная к кинематике. Вполне можно представить себе два тела, движущихся по одной и той же траектории, ударяющихся друг о друга и отскакивающих друг от друга.

Как сказано в последнем абзаце вопроса, мне все еще любопытно, почему это не используется в простых задачах (хотя, получая информацию для этого ответа, я обнаружил, что аналогичные методы используются для более сложных задач... но это уже другая история) .