Сомнение с релятивистским лагранжевым выражением

Что касается вашего второго вопроса, обратите внимание, что ваш гамильтониан на самом деле

$$\mathcal{H}=\frac{p_{\alpha}p^{\alpha}}{2m}$$

потому что$\mathcal{H}=\mathcal{H}\left(x^{\alpha},p_{\alpha}\right)$поэтому вам не разрешено использовать$u_{\alpha}$. Давайте проверим это, попробовав составить уравнения Гамильтона.

$$\begin{cases}\frac{{\rm d}p_{\alpha}}{{\rm d}\tau}=-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial x^{\alpha}}=0\\\frac{{\rm d}x^{\alpha}}{{\rm d}\tau}=\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_{\alpha}}=\frac{p^{\alpha}}{m}\end{cases}$$

Это точно идентично вашему уравнению с использованием лагранжевой механики, поэтому кажется, что вы построили правильный гамильтониан. Имейте в виду, что гамильтониан — это не полная энергия, так бывает в некоторых случаях. Ключевым моментом здесь является то, что вы не можете поставить$p_{\alpha}p^{\alpha}=m^{2}c^{2}$, по тем же причинам, по которым вы не указали$u_{\alpha}u^{\alpha}=c^{2}$в лагранжиане заканчивается

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}mc^{2}$$

Тот факт, что оба$\mathcal{L}$и$\mathcal{H}$являются константами, если вы подставляете интервалы, означает, что они являются константами по траекториям.

РЕДАКТИРОВАТЬ 1: Если вы хотите, чтобы ваш гамильтониан был полной энергией, вы должны написать свой лагранжиан как

$$\mathcal{L}^{\prime}=-\frac{mc^{2}}{\gamma}=-mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$$

и использовать$t$вместо$\tau$получить

$$\boldsymbol{p}=\frac{\partial\mathcal{L}^{\prime}}{\partial\boldsymbol{v}}=\frac{m\boldsymbol{v}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$ и так

$$\mathcal{H}^{\prime}=\frac{\partial\mathcal{L}^{\prime}}{\partial\boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{v}-\mathcal{L}^{\prime}=\frac{mv^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}+mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=$$

$$=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\gamma mc^{2}$$

РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Чтобы получить лагранжиан$\mathcal{L}^{\prime}=-\frac{mc^{2}}{\gamma}$от вашего, вы должны посмотреть на действие

$$S\left[u_{\alpha}\right]=\int\mathcal{L}{\rm d}\tau$$

Наша цель — заменить переменные на$\boldsymbol{x},\boldsymbol{v},t$вместо$x^{\alpha},u_{\alpha},\tau$. С использованием$\frac{{\rm d}\tau}{{\rm d}t}=\frac{1}{\gamma}$это дает

$$S\left[\boldsymbol{x}\right]=\int\mathcal{L}\frac{{\rm d}\tau}{{\rm d}t}{\rm d}t=\int\frac{mc^{2}}{2\gamma}{\rm d}t$$ поэтому мы получаем, что наш новый лагранжиан будет

$$\mathcal{L}^{\prime\prime}=\frac{mc^{2}}{2\gamma}=-\frac{1}{2}\mathcal{L}^{\prime}$$

Это идентично$\mathcal{L}^{\prime}$с точностью до константы, поэтому физика$\mathcal{L}^{\prime}$и$\mathcal{L}^{\prime\prime}$та же.

1. Лагранжиан OP (1) равен$^1$

   $$\begin{align}L~=~&\frac{m\dot{x}^2}{2}-\frac{mc^2}{2}, \cr \dot{x}^2~:=~&g_{\mu\nu}(x)~ \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~<~0, \cr \dot{x}^{\mu}~:=~& \frac{dx^{\mu}}{d\tau},\end{align}\tag{A}$$ (до постоянного срока$-\frac{mc^2}{2}$, что не изменит уравнения EL. ). Здесь$m$- остаточная/инвариантная масса . Лагранжиан (A) равен следующему лагранжиану $$L~=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e(mc)^2}{2} \tag{B}$$ в манометре $$e~=~\frac{1}{m}, \tag{C}$$ ср. например, этот пост Phys.SE. Здесь$e=e(\tau)$поле Эйнбейна, и$\tau$— параметр мировой линии (не обязательно собственное время).

2. Гамильтониан, соответствующий лагранжиану (B), равен

   $$\begin{align} H~=~& \frac{e}{2}(p^2+(mc)^2), \cr p^2~:=~&g^{\mu\nu}(x)~ p_{\mu}p_{\nu}~<~0, \cr p_{\mu}~=~& \frac{1}{e}g_{\mu\nu}(x)~\dot{x}^{\nu}, \end{align}\tag{D}$$ ср. например, этот пост Phys.SE. В калибровке (C) гамильтониан (D) принимает вид $$\begin{align} H~=~& \frac{1}{2m}(p^2+(mc)^2)~=~\frac{p^2}{2m}+\frac{mc^2}{2}, \cr p_{\mu}~=~& mg_{\mu\nu}(x)~\dot{x}^{\nu},\end{align} \tag{E}$$ который связан с уравнением ОП. (7) до ранее упомянутого постоянного члена$\frac{mc^2}{2}$.

   Формулировку гамильтониана в различных калибровках см., например, в этом посте Phys.SE.

--

$^1$Мы используем соглашение о знаках Минковского.$(−,+,+,+)$.