Если лагранжиан сепарабельен в обобщенных координатах и ​​скорости, означает ли это, что гамильтониан равен полной энергии? [закрыто]

Я не уверен, что понимаю, что вы имеете в виду под отделимым, однако ваше первоначальное утверждение

Гамильтониан равен полной энергии, если лагранжиан не зависит от времени и потенциал не зависит от скорости

вообще ложно. Кроме того, явное выражение кинетической энергии не может быть разделено на сумму произведений обобщенных координат и их производных по времени, но может иметь и дополнительную часть, являющуюся функцией$q$но не из$\dot{q}$. (Обратите внимание, что аналогичная часть уже существует в$L$и дается потенциальной энергией, здесь она также включена в кинетическую энергию).

Рассмотрим в качестве простейшего примера частицу$P$массы$m>0$вынуждены двигаться по$x'$-ось (без трения) и соединена с началом координат идеальной пружиной постоянной$k>0$. Обозначим через$s$координата$P$вдоль$x'$.

Наконец, предположим, что кадр$K'$определяется$x'y'z'$вращается вокруг$z$с постоянной угловой скоростью$\Omega>0$относительно инерциальной системы отсчета$K$с топорами$xyz$и$z=z'$.

Легко доказать, что скорость$P$в$K$является

$${\bf v}|_K = s \Omega\left(-\sin (\Omega t) {\bf e}_x + \cos (\Omega t) {\bf e}_y\right)+ \dot{s}(\cos(\Omega t) {\bf e}_x + \sin (\Omega t) {\bf e}_y)$$ так что кинетическая энергия в $K$есть, с тривиальными вычислениями, $$T|_K = \frac{m}{2}{\bf v}|_K^2= \frac{m}{2}\left(\dot{s}^2 + s^2\Omega^2\right)\:.$$ Вы уже видите, что здесь $T|_K$не отделим в $s$и $\dot{s}$в том смысле, который вы имели в виду.

Следовательно, лагранжиан

$$L|_K(s, \dot{s}) = \frac{m}{2}\left(\dot{s}^2 + s^2\Omega^2\right) - \frac{k}{2}s^2\:.$$ Даже если $L|_K$не является явной функцией времени, функция Гамильтона (постоянная во времени вдоль решений уравнений Эйлера-Лагранжа) не совпадает с полной энергией в$K$однако! На самом деле это $$H(s, \dot{s}) = \frac{\partial L|_K}{\partial \dot{s}}\dot{s}- L|_K = \frac{m}{2}\dot{s}^2 - \frac{m}{2}s^2\Omega^2\ + \frac{k}{2}s^2$$ тогда как энергия в $K$является $$E|_K(s, \dot{s}) = T|_K + U|_K = \frac{m}{2}\dot{s}^2 + \frac{m}{2}s^2\Omega^2\ + \frac{k}{2}s^2\:.$$ Последняя непостоянна вдоль решений уравнения движения.

Фундаментальная добавленная гипотеза, которую вы пропустили, чтобы получить оба ваших заявленных результата, заключается в том, что

положение точек системы в системе покоя, используемой для вычисления скоростей, является функцией только обобщенных координат, а не времени.

В этом случае гипотеза нарушается, так как положение$P$в$K$читает

$${\bf x}(t,q) = s\cos(\Omega t){\bf e}_x + s\sin(\Omega t){\bf e}_y$$ где $t$явным образом появляется.

Что касается значения$H$в рассматриваемом примере это не что иное, как

полная энергия, вычисленная в$K'$.

В$K'$, в дополнение к силе пружины проявляются еще две силы инерции : сила Кориолиса , которая не играет роли, потому что точно так же, как реактивная сила нормальна к скорости точки в$K$, а центробежная сила действует как отталкивающая пружина постоянной$-m\Omega^2$. Собственно говоря:

$$L|_{K'}(s, \dot{s}) = \frac{m}{2}\dot{s}^2 - \frac{k}{2}s^2 + s^2\Omega^2 = L|_{K}(s, \dot{s})\:.$$ и поэтому $$H(s, \dot{s}) = \frac{\partial L|_{K'}}{\partial \dot{s}}\dot{s}- L|_{K'} = \frac{m}{2}\dot{s}^2 +\left( \frac{k}{2}s^2 - \frac{m}{2}s^2\Omega^2\right) = T|_{K'}+ U|_{K'} = E|_{K'}(s, \dot{s}).$$

Обратите внимание, что кинетическая энергия равна

$$T|_{K'}=\frac{m}{2}\dot{s}^2$$ и, таким образом, он отделим, как вы утверждали. На самом деле положение $P$в $K'$тривиально $t$-независимый $${\bf x}(t,s) = s {\bf e}_{x'}\:.$$

Теорема, которую вы ищете, читается

ТЕОРЕМА (иногда известная как теорема Якоби). Если для системы, допускающей лагранжианское описание, лагранжиан не зависит явно от времени, то функция Гамильтона постоянна во времени вдоль решений EL

Кроме того, если в системе отсчета$K$используется для построения лагранжиана

а) все силы (за исключением реактивных) допускают независимую от времени потенциальную энергию и

б) положения точек систем в$K$не являются явной функцией времени,

то имеют место следующие факты.

(1) Функция Гамильтона совпадает с полной энергией.

(2) Кинетическая энергия сепарабельна в том смысле, что она имеет вид (где$q =(q^1,\ldots, q^n)$)

$$T|_K(q, \dot{q}) = \sum_{h,k=1}^n a_{hk}(q) \dot{q}^h \dot{q}^k$$ так что лагранжиан имеет вид $$L|_k(q, \dot{q}) = \sum_{h,k=1}^n a_{hk}(q) \dot{q}^h \dot{q}^k - U(q)\:,$$ где $$a_{hk}(q) = \sum_{i=1}^N\frac{m_i}{2} \frac{\partial {\bf x}_i}{\partial q^h} \cdot \frac{\partial {\bf x}_i}{\partial q^k}$$ где $N$- количество частиц системы с массами $m_i$и вектор положения ${\bf x}_i={\bf x}_i(q^1,\ldots, q^n)$в $K$, и $n$число степеней свободы системы.

(3) Полная энергия постоянна вдоль решений уравнений ЭЛ.