Соотношения Крамерса-Кронига для собственной энергии электрона Σ

Question

Соотношения Крамерса-Кронига для собственной энергии электрона Σ

Физика
исследовательский уровень
конденсированное вещество
теория возмущений
квантовая теория поля

Грег Гравитон

Я сейчас изучаю статью Маслова , в частности первый раздел о высших поправках к ферми-жидкостному поведению взаимодействующих электронных систем. К сожалению, я столкнулся с проблемой, когда пытался понять аргумент, касающийся (запаздывающей) собственной энергии. $\Sigma^R(ε,k)$ .

Маслов утверждает, что в ферми-жидкости действительная и мнимая части собственной энергии $\Sigma^R(ε,k)$ даны

Ре Σ^{р} (ε, к) знак равно - А ε + Б ξ_{к} + \dots

$\mathop{\text{Re}}\Sigma^R(ε,k) = -Aε + B\xi_k + \dots$

- Я Σ^{р} (ε, к) знак равно С (ε^{2} + π^{2} Т^{2}) + \dots

$-\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(ε,k) = C(ε^2 + \pi^2T^2) + \dots$

(уравнения 2.4а и 2.4б). Эти уравнения кажутся разумными: при подключении к фермионному пропагатору

{грамм}^{р} (ε, к) знак равно \frac{1}{ε + я дельта - ξ_{к} - Σ^{р} (ε, к)}

$G^R(ε,k) = \frac1{ε + i\delta - \xi_k - \Sigma^R(ε,k)}$

действительная часть немного изменяет закон дисперсии $ε = \xi_k$ немного, а мнимая часть немного уширяет пик. Это то, что я бы назвал ферми-жидкостью: оголенные электронные пики немного размыты, но все остальное остается как обычно.

Далее Маслов выводит поправки более высокого порядка к мнимой части собственной энергии, например вида

Я Σ^{р} (ε) знак равно С ε^{2} + Д | ε |^{3} + \dots .

$\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(ε) = Cε^2 + D|ε|^3 + \dots .$

Во-первых, я не совсем понимаю, как интерпретировать это расширение.

Как я понимаю расширения в порядках $ε$ ? Я полагаю, что $ε$ мало, но по отношению к чему? Уровень Ферми, по-видимому, определяется выражением $ε=0$ .

Во-вторых, он утверждает, что это расширение следует понимать «на массовой оболочке».

Я так понимаю, что "на массовой оболочке" значит ставить $\xi_k=ε$ ? Но что тогда означает расширение? Может быть, я должен расширяться в порядках $(ε-\xi_k)$ ?

Теперь самый важный для меня вопрос. Маслов утверждает, что действительную часть собственной энергии можно получить через соотношение Крамерса-Кронига из мнимой части собственной энергии. Моя проблема в том, что соответствующие интегралы расходятся.

Как может
$Ре Σ^{р} (ε, к) знак равно п \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} г ю \frac{Я Σ^{р} (ю, к)}{ю - ε}$ $\mathop{\text{Re}}\Sigma^R(ε,k) = \mathcal{P}\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \frac{\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(\omega,k)}{\omega-ε}$ понимать для неинтегрируемых функций, таких как $\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(ε,k) = ε^2$ ?

Вероятно, это связано с $ε$ будучи маленьким, но я действительно не понимаю, что происходит.

Вероятно, мне следует упомянуть мою мотивацию этих вопросов: я вычислил мнимую часть собственной энергии для одномерной латтинжеровской жидкости. $\xi_k=|k|$ в качестве

Я Σ^{р} (ε, к) знак равно (| ε | - | к |) θ (| ε | - | к |) знак (ε)

$\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(ε,k) = (|ε|-|k|)θ(|ε|-|k|)\mathop{\text{sgn}}(ε)$

и хотел бы установить связь с интерпретацией и результатами Маслова. В частности, я хочу вычислить мнимую часть собственной энергии с соотношениями Крамерса-Кронига .

Ответы (1)

Соотношения Крамерса-Кронига для собственной энергии электрона Σ

Джош · Answer 1

Я не могу со знанием дела говорить о специфике вашей проблемы, но могу предложить некоторые мысли.

Что касается вашего первого вопроса, вам нужно будет иметь размеры $\text{energy}^{-1}$ за $C$ а также $\text{energy}^{-2}$ за $D$ . В частности, это означает, что $C/D$ имеет единицы энергии. Это придает смысл утверждению о том, что

Д | ϵ |^{3} ≪ С ϵ^{2} \Leftrightarrow | ϵ | ≪ С / Д .

$D|\epsilon|^3 \ll C\epsilon^2 \quad\Leftrightarrow\quad |\epsilon| \ll C/D\,.$

Что касается расходящегося соотношения Крамерса-Кронига, вам следует прочитать об одном или нескольких вычитаемых дисперсионных соотношениях. Тогда вместо того, чтобы писать

Ре Σ^{р} (ϵ, к) знак равно п \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} г ю \frac{Я Σ^{р} (ю, к)}{ю - ϵ},

$\mathop{\text{Re}}\Sigma^R(\epsilon,k) = \mathcal{P}\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \frac{\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(\omega,k)}{\omega-\epsilon}\,,$ ты можешь написать

Ре Σ^{р} (ϵ, к) - Ре Σ^{р} (ϵ_{0}, к) знак равно п \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} г ю \frac{(ϵ - ϵ_{0}) Я Σ^{р} (ю, к)}{(ю - ϵ) (ю - ϵ_{0})},

$\mathop{\text{Re}}\Sigma^R(\epsilon,k) - \mathop{\text{Re}}\Sigma^R(\epsilon_0,k) = \mathcal{P}\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \frac{(\epsilon-\epsilon_0)\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(\omega,k)}{(\omega-\epsilon)(\omega-\epsilon_0)}\,,$ куда

ϵ_{0}

$\epsilon_0$ это некоторая удобная точка вычитания, предположительно та, в которой вы знаете

Re Σ^{R} (ϵ_{0}, k)

$\mathop{\text{Re}}\Sigma^R(\epsilon_0,k)$ . Вы также можете расширить до дважды или более вычитаемых дисперсионных соотношений. Вайнберг Том. 1 много об дисперсионных соотношениях, где вы можете прочитать об этом подробнее.

Хм, я не совсем доволен твоим состоянием на $|ε|$ поскольку оно возникает только апостериори, когда у вас есть одно конкретное расширение. Большое спасибо за вычтенные дисперсионные отношения, это выглядит очень полезным. Я проверю, что пишет Вайнберг.
Я рад, что вычитаемые дисперсионные соотношения оказались полезными. Что касается условия расширения, я бы скорее сказал, что оно возникает одновременно с принятием самого расширения и является частью обоснования усечения расширения на данном уровне.
Я обдумал вычитаемые дисперсионные соотношения, и мне кажется, что мы имеем следующую ситуацию: вычитаемое дисперсионное соотношение дает лучшую сходимость, но мы теряем информацию о членах более низкого порядка. Например, если мы знаем, что мнимая часть исчезает быстрее, чем $|z|\to∞$ , мы можем восстановить вторую производную действительной части, но мы не можем получить никакой информации о линейной или постоянной части. Это фундаментальное ограничение. К сожалению, это ставит под вопрос весь подход к реконструкции разложения низкого порядка. У вас есть какие-нибудь мысли по этому поводу?

Соотношения Крамерса-Кронига для собственной энергии электрона Σ

Грег Гравитон

Ответы (1)

Джош

Грег Гравитон

Джош

Грег Гравитон

Ограничения использования FLEX в качестве решателя DMFT

Производные колебаний по конденсату

могут ли системы с пробелами иметь гравитационные аномалии?

Ядерная физика из пертурбативной КТП

Ренормализационная группа для неравновесности

Как обосновать взаимодействие материи и поля для некалибровочно-инвариантного гамильтониана?

Нулевая мода Майораны в квантовой теории поля

Сходимость квантового эффективного действия к конечному петлевому порядку

Математическое доказательство того, что exp(−1/|g|)exp⁡(−1/|g|)\exp(-1/|g|) всегда связано с образованием связанных состояний через шкалы?

Хорошее чтение по формализму Келдыша