Спиноры Дирака при преобразовании по четности или что на самом деле означают спиноры Вейля в спиноре Дирака?

Моя проблема заключается в понимании поведения преобразования спинора Дирака (в базисе Вейля) при преобразованиях четности. Стандартный ответ учебника

$$\Psi^P = \gamma_0 \Psi = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \xi_R \\ \chi_L \end{pmatrix},$$ который я пытаюсь понять, используя трансформационное поведение спиноров Вейля $\chi_L$а также $\xi_R$. Я бы понял приведенный выше оператор преобразования, если бы по какой-то причине $\chi \rightarrow \xi$при паритетных преобразованиях, но я не знаю, можно ли и как это обосновать. Есть ли интерпретация $\chi$а также $\xi$что оправдывает такое поведение?

Немного фона:

Спинор Дирака в базисе Вейля обычно определяется как

$$\Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix},$$ где индексы $L$а также $R$указывают на то, что два спинора Вейля $\chi_L$а также $\xi_R$, преобразовать в соответствии с $(\frac{1}{2},0)$а также $(0,\frac{1}{2})$представление группы Лоренца соответственно. Спинор вида

$$\Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \chi_R \end{pmatrix},$$ является частным случаем, называемым майорановским спинором (описывающим частицы, являющиеся сами по себе античастицами), но в целом $\chi \neq \xi$.

Мы можем легко вывести, как спиноры Вейля ведут себя при преобразованиях четности. Если мы подействуем преобразованием четности на левый спинор$\chi_L$:

$$\chi_L \rightarrow \chi_L^P$$ мы можем вывести это $\chi_L^P$трансформируется под бустами, как правосторонний спинор

$$\begin{equation} \chi_L \rightarrow \chi_L' = {\mathrm{e }}^{ \frac{\vec{\theta}}{2} \vec{\sigma}} \chi_L \end{equation}$$

$$\begin{equation} \chi_L^P \rightarrow (\chi^P_L)' = ({\mathrm{e }}^{ \frac{\vec{\theta}}{2} \vec{\sigma}} \chi_L)^P = {\mathrm{e }}^{ - \frac{\vec{\theta}}{2} \vec{\sigma}} \chi_L^P, \end{equation}$$ потому что мы должны иметь преобразование по четности $\vec \sigma \rightarrow - \vec \sigma$. Мы можем заключить $\chi_L^P = \chi_R$Следовательно, спинор Дирака ведет себя при преобразованиях четности $$\Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} \rightarrow \Psi^P= \begin{pmatrix} \chi_R \\ \xi_L \end{pmatrix} ,$$ что неправильно. В учебниках преобразование четности спинора Дирака дается выражением

$$\Psi^P = \gamma_0 \Psi = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \xi_R \\ \chi_L \end{pmatrix}.$$

Это эквивалентно только описанному выше преобразованию$\chi = \xi$, что в моем понимании верно только для майорановских спиноров, или если по каким-то причинам при преобразованиях четности$\chi \rightarrow \xi$. Я думаю, что последнее верно, но я не знаю, почему это должно быть так. Возможно, это можно понять, как только появится интерпретация этих двух спиноров.$\chi$а также$\xi$...

Обновление : аналогичная проблема возникает для зарядового сопряжения: рассматривая спиноры Вейля, можно легко показать, что$i \sigma_2 \chi_L^\star$преобразуется как правый спинор, т.е.$i \sigma_2 \chi_L^\star = \chi_R$. Опять же, это не может быть полностью правильным, потому что это означало бы, что спинор Дирака трансформируется при зарядовом сопряжении как

$$\Psi= \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} \rightarrow \Psi^c = \begin{pmatrix} \chi_R \\ \xi_L \end{pmatrix},$$ что неверно (и означало бы, что преобразование четности совпадает с зарядовым сопряжением). Тем не менее, мы могли бы возразить, что для того, чтобы получить такой же объект, т. е. снова спинор Дирака, мы должны иметь

$$\Psi= \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} \rightarrow \Psi^c = \begin{pmatrix} \xi_L \\ \chi_R \end{pmatrix},$$

потому что только тогда$\Psi^c$трансформируется как$\Psi$. Другими словами: мы пишем правую компоненту всегда ниже левой, потому что только тогда спинор преобразуется подобно спинору Дирака, с которого мы начали.

На самом деле это стандартное зарядовое сопряжение из учебника, которое можно записать как

$$\Psi^c = i \gamma_2 \Psi^\star= i \begin{pmatrix} 0 & \sigma_2 \\ -\sigma_2 & 0 \end{pmatrix} \Psi^\star = i \begin{pmatrix} 0 & \sigma_2 \\ -\sigma_2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix}^\star= \begin{pmatrix} -i\sigma_2 \xi_R^\star \\ i\sigma_2 \chi_L \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \xi_L \\ \chi_R \end{pmatrix} .$$ В последней строке я использовал это, $i \sigma_2 \chi_L^\star$преобразуется как правый спинор, т.е. $i \sigma_2 \chi_L^\star = \chi_R$. Возможное сопряжение заряда в учебнике намекает нам на интерпретацию, например $\chi$а также $\xi$имеют противоположный заряд (как написано, например , здесь ), потому что это преобразование в основном задается формулой $\chi \rightarrow \xi$.