Уравнение Дирака в 1+1D пространстве-времени по сравнению со «стандартным» 3+1D уравнением Дирака

Некоторые отличия заключаются в том, что, « собственно говоря », « в (1 + 1) измерениях нет такого понятия, как спин», который объяснял бы «я надеялся, что смогу придать значение «спину» ψ-поля. » в вашем документе, и исходит из того, что «Маленькая группа$G(0)$можно принять за определение спина частицы» ( стр. 307 ), но, несмотря на это, « существуют майорановские или вейлевские спиноры в двух измерениях для любого выбора сигнатуры. Кроме того, в двумерном пространстве-времени Минковки существуют фермионы Майорана-Вейля », как видно из таблицы (Из Полчинского, т. 2, Приложение А) ниже, где размер гамма-матриц Дирака зависит от размерности пространства и возможность редукции представления Дирака к представлениям Вейля или Майорана зависит от размеров, где, например, в 4D мы можем иметь только Вейля или Майорана, но не оба, в то время как в 1-1 мы можем иметь оба. Это некоторые основные различия. Обратите внимание на$SO(2,1)$размерный случай также имеет причудливые свойства, допускающие « анионы », аналоги бозонов и фермионов.

По поводу "ветвей" комментарий к Р7 ваших заметок - так же, как группа Лоренца$SO(3,1)$отключена, группа$SO(1,1)$также отключен, как и любой$SO(p,q)$группа, когда оба$p,q > 1$. Автор сравнивает эту отключенную группу с подключенной группой$SO(3)$пытаясь понять, что происходит, и поэтому относится к$SO(1,1)$отключен как «нехарактерно непересекающийся» по сравнению с$SO(3)$однако это очень естественно, поскольку группа Лоренца$SO(3,1)$также отключен.

Что касается понятия «существует ли спин в измерениях 1 + 1», я думаю, это зависит от того, как его определить. Гамма-матрицы можно разделить на временные и спиновые матрицы Паули; то, что вы делаете, переходя от 3-х измерений в спиновых матрицах Паули только к 1-му измерению, заключается в том, что вы ограничиваете$\sigma_z$и оставив другой$\sigma$матрицы выключены. Таким образом, спин по-прежнему существует как собственный вектор для$\sigma_z$.

Что означает «две ветви спинора не пересекаются»: разница между векторами (которые следуют фундаментальному представлению SO (3)) и спинорами (которые следуют фундаментальному представлению SU (2)) заключается в том, что спиноры «двузначны». ". Вращение спинора на$2\pi$меняет знак, т. е. умножает на -1, с вектором такого изменения не происходит.

Теперь фраза «вращать спинор на$2\pi$'' необходимо уточнить. Чтобы получить сложную фазу$-1 = \exp(2i\pi\;\;(2\pi/4\pi))$нужно для вращения выкроить$2\pi$стер-радиан сферы Блоха, общая площадь поверхности которой$4\pi$. Вы можете сделать это, вращаясь по дуге большого круга от +z к +x, затем к -z, к -x, а затем к +z. Но это требует использования измерения x и поэтому невозможно в измерениях 1+1. Следовательно, двойное покрытие не пересекается в измерениях 1 + 1, в то время как вы можете использовать повороты, чтобы показать, что оно не находится в измерениях 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1 или больше.

В качестве предлога для выполнения расчетов, вы можете сделать вращение, перемножая бюстгальтеры и кеты для вращения в различных направлениях. Знак минус от вращения спинора по маршруту большого круга, идущему от +z к +x и обратно через +z снова, задается произведением проекционных операторов (чистых матриц плотности), что даст знак минус, умноженный на проекционный оператор для вращения в направлении +z. То есть:

$|+z\rangle\langle+z||-x\rangle\langle-x||-z\rangle\langle-z||+x\rangle\langle+x||+z\rangle\langle+z| = -|+z\rangle\langle+z|/4$

где знак - исходит из геометрической фазы$\exp(2i\pi\;(2\pi/4\pi)) = \exp(i\pi) = -1$а 1/4 получается из четырех потерь каждого$\sqrt{1/2}$по амплитуде при каждом изменении спина.

Теперь переключитесь со спиноров на векторы (скажем, фундаментальное представление SO (3) или представление со спином 1 SU (2) и выполните те же вычисления, что и выше, знак минус исчезнет, ​​поскольку представления не являются двойными покрытиями.