В квантовой теории поля — особенно применительно к физике высоких энергий — мы видим, что требования лоренц-инвариантности, калибровочной инвариантности и перенормируемости сильно ограничивают типы взаимодействий, которые могут проявляться в лагранжиане. Однако в контексте, отличном от физики высоких энергий — скажем, в физике конденсированного состояния или даже в нерелятивистской квантовой механике — мы рассматриваем член взаимодействия (по сути, потенциал в квантовой механике) как практически произвольное. Я хотел бы знать, как возникает это «феномен» нарушения симметрии, т. е. как можно начать с фундаментальной теории, обладающей всеми этими ограничениями на типы взаимодействий, которые могут возникнуть, и в конечном итоге получить практически бесконечную свободу для взаимодействий. «эффективная» теория при низких энергиях и малых скоростях. Если есть литература по этому поводу, буду признателен.
Я начну с предыстории, а затем постараюсь ответить на ваш вопрос.
В качестве примера рассмотрим квантовую электродинамику (КЭД) в четырехмерном пространстве-времени. Единственный известный математически законный способ построить эту модель — заменить непрерывное пространство-время (или, по крайней мере, пространство) дискретной решеткой. Использование дискретной решетки не совсем согласуется с лоренц-инвариантностью, но мы можем выбрать масштаб решетки намного мельче, чем любой экспериментально разрешимый масштаб. Затем, настроив коэффициенты в лагранжиане (или гамильтониане), экспериментально доступные предсказания модели можно сделать вращательно- или лоренц-инвариантными, насколько это может показать любой практический эксперимент. Это не был бы удовлетворительный способ сформулировать фундаментальную теорию всего, но КЭД — это не теория всего. Его возможности уже ограничены даже без артефакта дискретной решетки,
Ключом к этой работе является правильная настройка коэффициентов лагранжиана. Если мы изменим масштаб решетки (то есть расстояние между соседними узлами в решетке), то мы должны перенастроить коэффициенты, чтобы сохранить неизменными предсказания модели с низким разрешением. («Низкое разрешение» сравнивается с масштабом решетки.) Это перенормировка. Это возможно, если мы не делаем шаг решетки слишком маленьким. Если мы сделаем это тожемалы, то мы, по-видимому, достигаем точки, в которой искомые значения коэффициентов в лагранжиане расходятся. Именно это имеют в виду люди, когда говорят, что «КЭД не существует». На самом деле они имеют в виду, что КЭД сама по себе (без каких-либо дополнительных полей) не имеет строгого континуального предела, в котором электроны и фотоны все еще взаимодействуют друг с другом. Однако существует широкий диапазон периодов решетки, которые намного меньше, чем самая тонкая экспериментально разрешаемая шкала, но все же безопасно крупнее, чем шкала полюса Ландау, и любая такая решетка может использоваться для определения КЭД.
Теперь я начну отвечать на ваш вопрос. Мы могли бы воспроизвести те же предсказания с низким разрешением, используя лагранжиан с гораздо большим количеством членов, чем просто обычные «перенормируемые» члены, даже если мы будем использовать только калибровочно-инвариантные члены, построенные из обычных полей КЭД. Таких членов бесконечно много, и мы можем использовать их для построения бесконечного множества различных лагранжианов, чьи предсказания неотличимы друг от друга при достаточно низком разрешении. Это называется «универсальность». Среди этого бесконечного множества различных вариантов есть один вариант, в котором используются только обычные перенормируемые члены, которых, как вы указали, немного. На самом деле мы не ограничиваемся использованием только этих перенормируемых взаимодействий при построении модели.используйте только эти термины, пока эксперименты ограничены достаточно низким разрешением по сравнению с масштабом решетки.
Теперь предположим, что мы хотим рассмотреть только ситуации, в которых все электроны движутся намного медленнее, чем скорость света. (Я имею в виду простейшую версию КЭД, в которой поле электрона и электромагнитное поле являются единственными двумя полями.) Другими словами, мы хотим рассматривать только ситуации, в которых все электроны имеют энергию, намного меньшую, чем масса. электрона. Мы могли бы использовать лоренц-симметричную версию КЭД для решения этих ситуаций, но у нас также есть возможность использовать другую модель, в которую встроено нерелятивистское приближение. Мы можем назвать эту модель нерелятивистской КЭД (NRQED). Или, если нам не нужно рассматривать динамические электромагнитные эффекты, такие как фотоны, мы можем даже использовать нерелятивистскую квантовую механику. В любом случае мы можем ожидать что-то вроде «универсальности».пока мы рассматриваем только предсказания, включающие энергии, которые достаточно малы по сравнению с массой электрона , что является масштабом, который мы используем для определения «нерелятивистского» приближения. Как и в релятивистском случае, когда искусственный шаг решетки был опорной шкалой, существует бесконечно много различных нерелятивистских моделей, которые все делают одни и те же предсказания при достаточно низкой энергии по сравнению с массой электрона. Среди этих моделей мы можем выбрать ту, в которой используется наименьшее количество и простейшие термины, как мы обычно делаем в релятивистской КЭД.
Аналогичное замечание относится и к физике конденсированных сред. В этом случае мы лишь иногда проводим эксперименты вблизи «критической точки», в которой корреляционная длина становится намного больше, чем расстояние между решеткой атомов или молекул, из которых состоит материал. Это происходит, например, вблизи фазового перехода между намагниченной и ненамагниченной фазами ферромагнитного материала. В этих обстоятельствах мы действительно можем обойтись моделью, построенной всего из нескольких относительно простых членов, и эти члены снова называются перенормируемыми. Это аналогично ситуации в релятивистской КЭД, за исключением того, что (1) модели строятся с использованием разных полей и с разными требованиями симметрии и (2) в случае релятивистской КЭД мы всегдаограничены масштабами гораздо более крупными, чем (искусственный) масштаб решетки, но мы не ограничены масштабами гораздо более крупными, чем атомный масштаб (который является аналогом масштаба решетки в конденсированной среде) или энергиями намного ниже массы электрона (что было бы нерелятивистской квантовой механикой). аналог масштаба решетки в настоящей аналогии).
Таким образом, что касается вашего вопроса, основное различие между релятивистской КЭД и нерелятивистской квантовой механикой заключается в том, что в релятивистской КЭД мы всегда работаем в масштабах , намного меньших масштаба искусственной решетки, на котором определяется модель, поэтому мы всегда можем обойтись всего с несколькими относительно простыми членами в построении модели, а именно с «перенормируемыми» членами. Но в нерелятивистских приложениях мы лишь иногда работаем с энергиями, намного меньшими массы электрона, чтобы обойтись лишь несколькими относительно простыми условиями в построении модели.
Вот несколько ссылок, в которых эти моменты рассматриваются более подробно:
В этой не вводной статье исследуется модель, которая проще, чем КЭД, но все еще является лоренц-симметричной при достаточно низком разрешении: Polchinski (1984), "Renormalization and Effective Lagrangians", Nuclear Physics B 231: 269-295, http : // max2.physics.sunysb.edu/~rastelli/2016/Polchinski.pdf , по состоянию на 14 октября 2018 г.
В этой вводной статье та же идея изучается в контексте конденсированных сред: Полчински (1992), «Эффективная теория поля и поверхность Ферми», https://arxiv.org/abs/hep-th/9210046 .
Эта педагогическая статья объясняет, как та же идея работает в NRQED: Лепаж (1989), «Что такое перенормировка?» Boulder ASI, страницы 483-508, https://arxiv.org/abs/hep-ph/0506330 .
Надеюсь это поможет!
Через некоторое время после публикации моего ответа здесь я наткнулся на этот пост: действительно ли КЭД ломается на полюсе Ландау? В этом посте есть интересное обсуждение того, что пойдет не так, когда мы попытаемся взять строгий континуальный предел в КЭД.
Анна В