Как определить число [закрыто]

Я дам вам стандартный, схематичный ответ, но имейте в виду, что этот вопрос открывает ящик Пандоры.

Иррациональные числа — это те, которые не могут быть представлены дробью двух целых чисел. Поскольку это отрицательное определение, оно может немного ввести в заблуждение и бесполезно. Видите ли, все числа, которые не являются рациональными, должны быть... иррациональными.

Однако существует «внешний круг», набор чисел, которые не являются рациональными, но которые можно положительно определить как те, которые являются решением некоторого алгебраического уравнения. Они называются алгебраическими числами.

Следующий круг снаружи — это множество вычислимых чисел. Это, грубо говоря, числа, которые могут быть аппроксимированы с произвольной точностью с помощью конечного вычислительного процесса.

Числа, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными . Большинство этих чисел также не поддаются вычислению. Как видите, еще одно негативное определение. Есть (и, вероятно, всегда будет) то, чего мы не знаем об этих числах, чем то, что мы знаем, поэтому, если они вас озадачивают, вы в хорошей компании.

Если $x$ — положительное рациональное число, меньшее, чем $\frac{1}{2}$, может ли следующее логарифмическое выражение быть эквивалентным любому действительному числу, скажем, $r$?

$$\frac{\log(1-x)}{\log x} = r$$, где $r$ - положительное действительное число меньше единицы,

Предположим, что сначала $r$ является рациональным числом, скажем, $n/m$, тогда вы получите это уравнение, $x^n=(1-x)^m$, где решение для $x$ будет явно алгебраическим - иррациональное число что противоречит предположению о рациональности $x$, следовательно, $r$ не может быть рациональным числом и должно быть иррациональным числом, если это так, вы получаете следующее уравнение: $x^r = 1-x$, правая часть является рациональным числом число, но левая часть является трансцендентным числом согласно теореме Гель-Шнайдера, что снова противоречит предположению об иррациональности $r$, так что же это за число должно быть?

Я думаю, кто-то просто скажет, что это трансцендентное число, заданное по определению, если предположить, что $x$ — целая степень рационального числа, скажем, $x=a^p$, где $p$ — нечетное простое число, то путем замены вы получаете это простое уравнение, которое является сокращенной формой FLT для рациональных чисел, $a^p + (a^r)^p = 1$, но мы уже знаем, что $a^r = b$, где $b$ рациональное число, которое не существует из доказательства Эндрю Уайлса и Тейлора до Великой теоремы Ферма, поэтому $log(b) / log(a)$ не является трансцендентным числом, это вид чисел, которые должны быть переопределены снова & именно так