Стандартное отклонение среднего значения выборочных данных

Question

Стандартное отклонение среднего значения выборочных данных

статистика
Математика
среднеквадратичное отклонение

пользователь4205580

Я не совсем понимаю, что означает эта формула:

о_{\bar{Икс}} "=" \frac{о}{\sqrt{н}}

$\sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt n}$

Я знаю, что такое стандартное отклонение $\sigma$ is - это среднее расстояние моих точек данных (выборок) от среднего значения. Но эта часть сбивает с толку:

Например, пусть случайная величина $X$ записывает баллы случайно выбранного учащегося по национальному тесту, где распределение баллов среди населения является нормальным со средним значением $70$ и стандартное отклонение $5$ ( $N(70,5)$ ). Учитывая простую случайную выборку (SRS) $200$ студентов, распределение выборочного среднего балла имеет среднее значение $70$ и стандартное отклонение
$\frac{5}{\sqrt{200}} \approx \frac{5}{14.14} \approx 0,35$ $\frac{5}{\sqrt{200}} \approx \frac{5}{14.14} \approx 0.35$

Источник

Я думал стандартное отклонение $\sigma = 5$ означает, что если я возьму баллы всех студентов и вычислю среднее значение, то среднее расстояние балла от этого среднего будет равно $5$ . Набор всех оценок называется «населением», верно? Но здесь говорится, что чем больше баллов я беру, тем ниже стандартное отклонение — таким образом, чем ближе количество выборок к размеру генеральной совокупности, тем ниже стандартное отклонение (и оно становится дальше от $5$ ).

Ответы (3)

Стандартное отклонение среднего значения выборочных данных

вифагор · Answer 1

Во-первых, стандартное отклонение — это не среднее расстояние до среднего, оно всегда равно нулю. Однако это значение для измерения того, насколько точки далеки от среднего или нет. Предполагая, что значения распределены нормально, мы знаем, что ~ 68% значений находятся между $\mu-\sigma$ и $\mu+\sigma$ , например.

Предположим, мы взвешиваем картофель со средним весом 100 г и стандартным отклонением 5 г. Что верно для среднего среднего веса группы из 4 картофелин? Надеюсь, вы видите, что среднее значение среднего веса по-прежнему составляет 100 г. Но каково стандартное отклонение этого среднего веса? Вот где вы используете формулу

о_{\bar{Икс}} "=" \frac{о}{\sqrt{н}} "=" \frac{5}{\sqrt{4}} "=" 2,5

$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{4}} =2.5$

Не стесняйтесь спрашивать, если вы все еще не понимаете.

Доказательство того, что среднее расстояние между фактическими данными и средним значением равно

0

$0$ :

\frac{\sum_{я "=" 1}^{н} ({Икс}_{я} - мю)}{н} "=" \frac{(\sum_{я "=" 1}^{н} {Икс}_{я}) - мю н}{н} "=" \frac{\sum_{я "=" 1}^{н} {Икс}_{я}}{н} - мю "=" мю - мю "=" 0

$\frac{\sum^n_{i=1} (x_i-\mu)}{n} = \frac{(\sum^n_{i=1} x_i)-\mu n}{n} = \frac{\sum^n_{i=1} x_i}{n}-\mu = \mu - \mu = 0$

«Стандартное отклонение — это среднее расстояние между фактическими данными и средним значением». - цитата из: controls.engin.umich.edu/wiki/index.php/…
Тогда этот сайт неправильный. Обратите внимание, что среднее расстояние между фактическими данными и средним значением равно 0. Я напишу почему это в своем ответе, потому что меня тошнит от того факта, что нажатие ввода в комментарии сохраняет комментарий.

пользователь65203 · Answer 2

Вы вычисляете стандартное отклонение среднего, $\sigma_{\bar X}$ , а не отдельных образцов, $\sigma_X$ .

Когда переменные независимы, дисперсии складываются. Так

{вар}_{\sum_{я} Икс я} "=" н {вар}_{Икс},

$\text{var}_{\sum_i Xi}=n\text{var}_X,$ и разделив на

n^{2}

$n^2$ (дисперсия квадратична),

{вар}_{\bar{Икс}} "=" \frac{1}{н} {вар}_{Икс} .

$\text{var}_{\bar X}=\frac1n\text{var}_X.$

Отсюда извлечение квадратного корня

о_{\bar{Икс}} "=" \frac{1}{\sqrt{н}} о_{Икс} .

$\sigma_{\bar X}=\frac1{\sqrt n}\sigma_X.$

Это правда, если предположить, что дисперсии $x_i$ равны.
@ user4205580: гомоскедастичность очевидна из постановки задачи, нет необходимости беспокоить ОП.

Найджел · Answer 3

Найджел

Посмотрите внимательно на последнее предложение в цитате: в нем «стандартное отклонение» относится к выборочному среднему . Таким образом, по сути, рассматриваются все возможные выборки из 200 студентов , учитывая, что стандартное отклонение совокупности равно 5. Ответ Вифагора дает формулу для стандартного отклонения среднего значения выборки.

пользователь4205580

Как понять «стандартное отклонение среднего значения выборочных данных»? Что мы берем все возможные выборки из 200 студентов, вычисляем среднее значение каждого такого набора (

x_{i}

$x_i$ ), вычислить среднее значение

\bar{x}

$\overline{x}$ средств

x_{i}

$x_i$ а затем рассчитать стандартное отклонение, используя

x_{i}

$x_i$ и

\bar{x}

$\overline{x}$ ?

Найджел

Да, но при фактическом вычислении формулы вы можете извлечь знаменатель 200 из суммы среднего значения каждой выборки, что избавит вас от необходимости иметь дело со средним значением каждого такого набора (см. шаг, включающий деление на

n^{2}

$n^2$ в ответе Ива Дауста), что приводит к хорошему простому соотношению между стандартным отклонением среднего значения выборки и стандартным отклонением индивидуальной оценки.

Стандартное отклонение среднего значения выборочных данных

пользователь4205580

Ответы (3)

вифагор

пользователь4205580

вифагор

пользователь65203

пользователь4205580

пользователь65203

Найджел

пользователь4205580

Найджел

стандартное отклонение выборки с учетом стандартного отклонения генеральной совокупности

Оценка стандартного отклонения совокупности с помощью стандартного отклонения выборки

Стандартное отклонение выборки в сравнении со стандартным отклонением генеральной совокупности

Стандартное отклонение населения

Почему оценки этого интеграла не учитывают оба равенства?

Определение того, являются ли случайные величины независимыми

Что делать во время докторантуры по математике, чтобы иметь возможность работать в промышленности?

Что такое выборочная дисперсия выборочной дисперсии и что такое теоретическое выборочное распределение?

Выборочное среднее и дисперсия

Путаница - корреляция между -1 и 1