Об унитарности и R-заряде в 2+1 суперконформной теории поля

Почему размер шкалы больше 1/2?

Причина в спектральном представлении (Каллена-Лемана). Позволять

$$G(s-s') = \langle0|\phi^\dagger(s)\phi(s')|0\rangle$$

Для любого поля$\phi$, и разверните преобразование Фурье G по энергетическим состояниям:

$$G(k) = \int ds {\rho(s)\over k^2-s + i\epsilon}$$

Другими словами, G является суперпозицией пропагаторов квадрата массы s с коэффициентом$\rho(s)$. затем$\rho(s)>0$, так как это положительно определенная норма состояния, являющаяся преобразованием Фурье поля$\phi$действует на вакуум.

Если$\rho(s)$является дельта-функцией в нуле, поле имеет безмассовый пропагатор свободного поля, равный (евклидову) 1/r, и этот спад равен квадрату размерности поля, поэтому поле имеет размерность 1/2, каноническое свободное поле размер поля. Если вы хотите другое измерение для поля, вы должны сложить пропагаторы свободного поля с положительными коэффициентами. Чтобы получить безмасштабное распределение, как требуется в конформной теории, вы должны использовать степенную суперпозицию:$\rho(s) = s^{-\alpha}$, а по физическим причинам$\alpha>0$, иначе$\rho$растет при больших k. Растущая плотность состояний при больших k означает, что теория имеет бесконечное число различных видов на коротких расстояниях.

Таким образом, спад k равен (по размерному анализу)${1\over k^{2- 2\alpha}}$, что означает, что спад по x равен (опять же по размерному анализу)${1\over x^{1+2\alpha}}$, что означает, что размерность масштаба${1\over 2}+\alpha$.

Вы можете понять это интуитивно, зная, что свободные пропагаторы отпадают как$1\over k^2$и любой более быстрый спад требует сокращений, которые запрещены в квантовой теории поля положительностью.

Почему размер шкалы 1/2 подразумевает бесплатность

причина в том, что в конформной теории нет шкалы для$\rho$, поэтому он не может иметь никакой другой формы, кроме степенного закона. Так что, если масштаб масштаба ровно 1/2,$\rho$может быть дельта-функцией только в 0, и оператор имеет свободный безмассовый пропагатор. Если бы он взаимодействовал, он имел бы ненулевые матричные элементы с состояниями n частиц, что давало бы положительный$\rho$где-то далеко от нуля.

Когда разрешены фазовые переходы?

Я думаю, что критерий, используемый здесь для разрешения фазовых переходов, заключается в том, что вы можете деформировать теорию с помощью оператора размерности меньше или равной 3, который заставляет поля получать ВЭВ. Это также нарушает конформную инвариантность.

Я считаю, что рассматриваемые здесь операторы$tr(\bar{\phi}^2) + tr(\phi^2)$и$|tr(\phi^2)|^2$. Генераторы дилатации представляют собой квадраты генераторов суперсимметрии, поэтому их свойства масштабного преобразования определяются зарядом R от 2 до 1/2 и от 4 до 1. Таким образом, в какой-то момент$|tr(\phi^2)|$член проходит через измерение 3, и при больших связях, чем это, вы можете стабильно деформировать действие, чтобы получить фазовый переход, добавляя два члена и давая след$\phi^2$ВЭВ.

Я не уверен в этом, потому что я не уверен, происходит ли фазовый переход вне конформной точки. Больше контекста, например, сказать, какую теорию вы имеете в виду, было бы полезно.