Как вывести правила Фейнмана для взаимодействия гравитон-фотон?

Я думаю, что вы не смогли прийти к желаемым правилам Фейнмана, потому что ваше второе уравнение неверно. Видите ли, учитывая ваше определение гравитонного поля как небольшого возмущения метрики Минковского, мы можем переписать

$$\begin{align*} g^{\mu\nu} g^{\rho\sigma} F_{\mu\rho} F_{\nu\sigma} &\approx (\eta^{\mu\nu} \eta^{\rho\sigma} - \kappa h^{\mu\nu} \eta^{\rho\sigma} - \kappa h^{\rho\sigma} \eta^{\mu\nu}) F_{\mu\rho} F_{\nu\sigma} \\ &= F^2 + 2 \kappa {h^\mu}_\nu\ \partial_{[\mu}A_{\rho]} \partial^{[\rho}A^{\nu]}\,. \\ \end{align*}$$

Более того, вы допустили ошибку в расширении инвариантной меры.

$$\sqrt{-g} \approx 1 + \frac{\kappa}{2} \eta_{\alpha \beta}h^{\alpha \beta}$$

Эти соображения придают вашему лагранжиану взаимодействия следующую форму:

$$\boxed{\mathcal L_I = -\frac{\kappa}{4} \eta_{\alpha \beta}h^{\alpha \beta} \partial_{\mu}A_{\nu} \partial^{[\mu}A^{\nu]} - \frac{\kappa}2 {h^\mu}_\nu\ \partial_{[\mu}A_{\pi]} \partial^{[\pi}A^{\nu]}}\,. \tag4$$

Вам не нужно записывать свой лагранжиан в квадратичной форме (например,$A_\sigma \hat{N}^{\sigma\lambda}_{\mu\nu} A_\lambda$), если, конечно, вы не хотите найти свободного распространителя своей теории (то есть$\hat{N}^{-1}$, если в вашем лагранжиане есть свободный член, которого у вас нет).

Обратите внимание, что в приведенном выше лагранжиане есть шесть членов, которые я перечислю ниже.

1. $-\frac{\kappa}{4} \eta_{\alpha \beta}\ h^{\alpha \beta}\ \partial_{\mu}A_{\nu}\ \partial^{\mu}A^{\nu}$
2. $+\frac{\kappa}{4} \eta_{\alpha \beta}\ h^{\alpha \beta}\ \partial_{\mu}A_{\nu}\ \partial^{\nu}A^{\mu}$
3. $- \frac{\kappa}2 h^{\mu\nu}\ \partial_{\mu}A_{\pi}\ \partial^{\pi}A_{\nu}$
4. $+ \frac{\kappa}2 h^{\mu\nu}\ \partial_{\pi}A_{\mu}\ \partial^{\pi}A_{\nu}$
5. $+ \frac{\kappa}2 h^{\mu\nu}\ \partial_{\mu}A_{\pi}\ \partial_{\nu}A^{\pi}$
6. $- \frac{\kappa}2 h^{\mu\nu}\ \partial_{\pi}A_{\mu}\ \partial_{\nu}A^{\pi}$

Для каждого из этих членов вы можете попытаться записать вклад импульсного пространства во взаимодействие вершин,

следующее. Рассмотрим без ограничения общности первый член из приведенного выше списка:$-\frac{\kappa}{4} \eta_{\alpha \beta}\ h^{\alpha \beta}\ \partial_{\mu}A_{\nu}\ \partial^{\mu}A^{\nu}$.

• Шаг 1: Начните с постоянных коэффициентов члена взаимодействия (например,$-\frac{\kappa}{4} \eta_{\alpha \beta}$). Запишите их с дополнительным коэффициентом$i$, мнимое число.
• Шаг 2: Назначьте каждому полю в термине взаимодействия (например,$h^{\alpha \beta}$) соответствующую схему на диаграмме Фейнмана (например,$h^{\rho \sigma}$) и запишите индексы Лоренца спаривания в терминах матриц Минковского (например,$\eta^{\alpha \rho}\eta^{\beta \sigma}$).
• Шаг 3: Запишите производные, которые действуют на определенное поле (например,$\partial_{\mu}A_{\nu}$) как импульс соответствующего поля на диаграмме Фейнмана (например,$\eta_{\nu\alpha}{k_1}_\mu$на выбор$A_\alpha$в качестве репрезентативной схемы).
• Шаг 4: Добавьте все возможные вклады из-за различного выбора схематических назначений (например,$\eta_{\nu\beta}{k_2}_\mu$на выбор$A_\beta$в качестве репрезентативной схемы для$\partial_\mu A_\nu$).

Результат должен выглядеть следующим образом.

$$-\frac{i\kappa}{4} \eta_{\alpha \beta} \eta^{\alpha \rho}\eta^{\beta \sigma} (\eta_{\nu\alpha}{k_1}_\mu {\eta^\nu}_\beta {k_2}^\mu + \eta_{\nu\beta}{k_2}_\mu {\eta^\nu}_\alpha {k_1}^\mu) = -\frac{i\kappa}{2} (k_1 \cdot k_2) \ \eta^{\rho \sigma} \eta_{\alpha \beta} \tag{5.1}$$

Вы можете рассматривать приведенные выше шаги как метаправила Фейнмана , чтобы найти правила Фейнмана для любой теории «хорошего поведения». Попробуйте сами разобраться с другими терминами (с № 2 по № 6) и посмотрите, сможете ли вы получить следующие результаты от каждого из этих терминов.

$$+ \frac{i\kappa}{2} \eta^{\rho \sigma} {k_1}_\beta {k_2}_\alpha \tag{5.2}$$

$$- \frac{i\kappa}{2} ({\eta_\alpha}^\sigma {k_2}^\rho {k_1}_\beta + {\eta_\beta}^\sigma {k_1}^\rho {k_2}_\alpha) \tag{5.3}$$

$$+ \frac{i\kappa}{2} (k_1 \cdot k_2)\ {\eta^\rho}_{(\alpha} {\eta_{\beta)}}^\sigma \tag{5.4}$$

$$+ \frac{i\kappa}{2} \eta_{\alpha\beta} {k_1}^{(\rho} {k_2}^{\sigma)} \tag{5.5}$$

$$- \frac{i\kappa}{2} ({\eta_\alpha}^\rho {k_2}^\sigma {k_1}_\beta + {\eta_\beta}^\rho {k_1}^\sigma {k_2}_\alpha) \tag{5.6}$$

Это десять терминов, которые вы хотели получить (уравнение 3). Надеюсь, это поможет. Пожалуйста, прокомментируйте ниже, если вы что-то не понимаете и нуждаетесь в дополнительных разъяснениях.

---

ПРИМЕЧАНИЕ:

Чтобы понять, почему метаправила работают именно так, прочитайте стандартную книгу по квантовой теории поля. Я бы порекомендовал А. Зи: Квантовая теория поля в двух словах , гл. 1.7. Вы также найдете этот ресурс весьма полезным.