Существует ли естественный оператор, канонически сопряженный с гамильтонианом?

Как известно, принцип неопределенности Гейзенберга утверждает, что положение и импульс удовлетворяют соотношению неопределенностей, которое следует из канонического соотношения коммутации

[ Икс ^ я , п ^ Дж ] "=" я ℏ дельта я Дж .
Существует также хорошо известный принцип неопределенности энергия-время с каноническим коммутационным соотношением
[ ЧАС ^ , т ^ ] "=" я ℏ .
Однако это не так хорошо определено, потому что оператор времени не является оператором в гильбертовом пространстве, хотя формально это следует из уравнения Шредингера. Известно, что принцип неопределенности энергия-время не так прост, как принцип положения-импульса, но существует ли естественный оператор, удовлетворяющий каноническим коммутационным соотношениям с гамильтонианом? Меня особенно интересуют вторично квантованные гамильтонианы, где гамильтониан записывается в терминах операторов рождения и уничтожения.

В википедии говорится, что канонически сопряженные переменные являются преобразованиями Фурье друг друга. Что бы это значило в данном контексте? Обобщается ли это на гамильтониан? Существует ли оператор, являющийся «преобразованием Фурье» гамильтониана.

Ответы (2)

Одно из истинных заблуждений, с которыми сталкиваются люди, изучающие квантовую механику (возможно, помимо вводного учебника), состоит в том, что « согласно теореме Паули невозможно построить самосопряженный оператор, сопряженный с гамильтонианом, таким же образом, как оператор импульса сопряжен с координатный оператор ». Грубо говоря, «в QM нет оператора времени». Можно даже поддержать это утверждение, процитировав оригинальный аргумент Паули (стр. 7 отсюда: https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0609163.pdf — но читатель должен быть предупрежден, что в этой статье есть несколько вопиющих ошибок). , например, квадратный корень из дельта-распределения на странице 3!

Поэтому неудивительно, что первоначальный аргумент Паули, столь легко выдвигаемый во многих темах PhysSE, не был написан на языке функционального анализа гильбертова пространства. Его только что изобрели Маршалл Харви Стоун в США и Иоганн фон Нейман в Германии. [В качестве побочного замечания: я не могу предположить, действительно ли Паули (в остальном великий физик) в совершенстве овладел функциональным анализом фон Неймана вплоть до своей смерти в 1958 г.]. Собственно, сама тема оператора времени в квантовой физике (отсюда и анализ Паули) не была популярной (или казалась забытой) до появления операторной теории струн и ее бесконечных возможностей.

Единственное математическое исследование теоремы Паули и ее недостатков, которое я рекомендую, это исследование Эрика Галапона здесь: https://arxiv.org/abs/quant-ph/9908033 и некоторые дополнительные комментарии здесь: https://arxiv.org/abs /квант-ф/0303106 . Галапон показывает, что при особых условиях существует оператор, канонически сопряженный допустимому самосопряженному гамильтониану (оператор времени прихода). Таким образом, общий ответ на вопрос в заголовке — « да ». Пренебрежение этим результатом и дальнейшее продвижение аргумента и вывода Паули неверно. Итак, в конце концов, все учебники по КМ, игнорирующие аргумент Паули, были/есть правы и не распространяют это вышеупомянутое заблуждение.

Но это для конкретных гамильтонианов, верно? Аргумент Паули верен для ограниченных гамильтонианов?
Нет требования, чтобы гамильтониан был ограничен как оператор в КМ/КТП, а требуется только, чтобы его спектр был ограничен снизу.

Вероятно, не из-за теоремы Паули. Я говорю «вероятно» только потому, что не знаю, как разделение роли гамильтониана и энергии (первый определяет оператор перевода времени, второй — оператор с нижней границей, определяющий основное состояние) повлияет на теорему Паули.

Спасибо, это интересный момент. Я не был знаком с теоремой Паули. Я проведу небольшое исследование по этому поводу. Если мы находимся в системе многих частиц, где собственные значения энергии полунепрерывны, может ли быть оператор, который «близок» к тому, что я ищу?
@TeddyBaker Проблема не в непрерывности спектра гамильтониана, проблема в нижней границе его спектра.
Хорошо, я отметил это правильно, хотя, возможно, немного разочарован :)
На самом деле, мне также интересно, почему оператор времени обязательно должен быть самосопряженным. Это предположение теоремы, но что, если его ослабить?
Я предполагаю, что собственные значения должны быть реальными, чтобы оператор мог отслеживать время. Хотя мнимое время интересно для расчетов типа термодинамики.
@TeddyBaker требование эрмитовости наложено, потому что в QM есть требование, чтобы все наблюдаемые соответствовали эрмитовым операторам (хотя не все эрмитовы операторы являются наблюдаемыми - рассмотрим м ю Икс + п в простом гармоническом осцилляторе, например). Поскольку время определенно является наблюдаемой величиной, у нас возникает загадка. Прямо сейчас я задаюсь вопросом, исчезнет ли проблема, если время также будет ограничено снизу (как на некоторых картинах Большого взрыва).
@TeddyBaker Разница между эрмитианцем и антиэрмитианцем является фактором я , так что это было бы тривиальным изменением соотношения коммутации, которое, я почти уверен, не изменит результатов теоремы.
Существует ли естественный оператор, канонически сопряженный с гамильтонианом?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v