Представляет ли T(x)T(x)T(x) число ccc или оператор во втором квантовании?

В книге Квантовая теория систем многих частиц Феттера и Валецки, раздел 1.2, уравнение (2.4), гамильтониан пишет:

ЧАС ^ "=" ∫ г 3 Икс ψ ^ † ( Икс ) Т ( Икс ) ψ ^ ( Икс )
Комментарий под уравнением гласит:

количества ψ ^ и ψ ^ † однако не волновые функции, а полевые операторы; таким образом, при вторичном квантовании поля являются операторами, а потенциальная и кинетическая энергия — просто комплексными коэффициентами .

Я немного смущен, потому что с одной стороны:

позволять ψ ^ "=" ∑ к е я к Икс с к , и Т ( Икс ) как оператор − ℏ 2 ∇ 2 / 2 м , можно гладко получить обычную форму второго квантования ЧАС ^ "=" ∑ к ℏ 2 к 2 2 м с к † с к .

С другой стороны (для простоты предположим бозоны):

[ ψ ^ ( Икс ) , ЧАС ^ ] "=" [ ψ ^ ( Икс ) , ∫ г 3 г ψ ^ † ( г ) Т ( г ) ψ ^ ( г ) ] "=" ∫ г 3 г ( [ ψ ^ ( Икс ) , ψ ^ † ( г ) ] Т ( г ) ψ ^ ( г ) + ψ ^ † ( г ) [ ψ ^ ( Икс ) , Т ( г ) ] ψ ^ ( г ) + ψ ^ † ( г ) Т ( г ) [ ψ ^ ( Икс ) , ψ ^ ( г ) ] ) "=" Т ( Икс ) ψ ^ ( Икс )
который получается с помощью [ ψ ^ ( Икс ) , ψ ^ † ( г ) ] "=" дельта ( Икс − г ) , [ ψ ^ ( Икс ) , ψ ^ ( г ) ] "=" 0 , и предположим, что T(x) — это просто число ac .

Ответы (1)

Есть два разных типа операторов, которые вы должны иметь в виду. Один тип операторов относится к тем, которые действуют в гильбертовом пространстве квантового поля (обычно называемом пространством Фока). Другой тип — это операторы, которые действуют на сложные функции, такие как дифференцирование, умножение и лапласиан.

Имеется в виду, что Т ( Икс ) не является оператором, действующим в гильбертовом пространстве квантового поля. Это оператор, который действует на сложные функции (и расширяется, чтобы формально воздействовать на квантовые поля). В расчетах, которые вы показываете, вам не нужно лечить Т ( Икс ) как число, вам просто нужно предположить, что оно действует как дифференциальный оператор в функциях. В дальнейшем я буду обозначать применение Т ( г ) в ψ ( г ) (как дифференциальный оператор) на Т ( г ) [ ψ ( г ) ] . Обратите внимание, в частности, что Т ( г ) различает только операторы, которые зависят от переменной г (это не влияет ψ ( Икс ) , например). Затем вычисление читает

[ ψ ^ ( Икс ) , ЧАС ^ ] "=" [ ψ ^ ( Икс ) , ∫ г 3 г ψ ^ † ( г ) Т ( г ) ψ ^ ( г ) ] "=" ∫ г 3 г ( [ ψ ^ ( Икс ) , ψ ^ † ( г ) ] Т ( г ) ψ ^ ( г ) + ψ ^ † ( г ) [ ψ ^ ( Икс ) , Т ( г ) ] ψ ^ ( г ) + ψ ^ † ( г ) Т ( г ) [ ψ ^ ( Икс ) , ψ ^ ( г ) ] ) "=" ∫ г 3 г ( дельта ( Икс − г ) Т ( г ) ψ ^ ( г ) + ψ ^ † ( г ) ψ ^ ( Икс ) Т ( г ) [ ψ ^ ( г ) ] − ψ ^ † ( г ) Т ( г ) [ ψ ^ ( Икс ) ψ ^ ( г ) ] + ψ ^ † ( г ) Т ( г ) [ ψ ^ ( Икс ) ψ ^ ( г ) ] − ψ ^ † ( г ) ψ ^ ( Икс ) Т ( г ) [ ψ ^ ( г ) ] ) .

Теперь первый член даст желаемый результат Т ( Икс ) ψ ^ ( Икс ) , но в других терминах у вас есть дифференциальный оператор, который дифференцирует по г , так что функции Икс не затронуты. То есть, Т ( г ) [ ψ ^ ( Икс ) ψ ^ ( г ) ] "=" ψ ^ ( Икс ) Т ( г ) [ ψ ^ ( г ) ] . Таким образом, остальные условия отменяются.

В вашем выводе, я думаю, вы должны рассмотреть случаи, когда г равно Икс , с г пробежаться по всем возможным координатам. Строго говоря, не следует Т ( г ) не работай ψ ^ ( Икс ) ..
Т ( г ) дифференциальный оператор, не действующий на Икс переменная. Например, если вы рассматривали ∫ г г ∂ г ( ф ( Икс ) г ( г ) ) результат будет просто ф ( Икс ) ∫ г г г ′ ( г ) . Здесь точно такой же случай.
Более того, ни Икс или г следует подумать о конкретном значении, прежде чем интегрировать: нет смысла оценивать дифференциальный оператор в точке (например, ∂ ∂ 2 )
Вы правы, спасибо.
Что, если внешнее большинство выражения имеет интеграл по Икс , ты все еще говоришь, что Т ( г ) не оперировать ψ ^ ( Икс ) . Разве вы не рассматриваете, например, дельта-функцию Дирака дельта ( Икс − г ) ставить куда?
Да. Чтобы провести дифференцирование, вы не можете вычислять функцию в точке. Вы должны думать об этом как о функции и взять соответствующий предел ( ф ′ ( 2 ) "=" лим ϵ → 0 ф ( 2 + ϵ ) − ф ( 2 ) ϵ , пока ∂ Икс [ ф ( 2 ) ] "=" 0 , например). После нахождения соответствующей производной функций вы должны затем проинтегрировать и рассмотреть «оценку» подынтегральной функции, чтобы выполнить сумму (интеграл).
Представляет ли T(x)T(x)T(x) число ccc или оператор во втором квантовании?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v