Зависят ли операторы создания и уничтожения от времени?

В представлении Шрёдингера, пока у вас нет изменяющихся во времени внешних полей, операторы создания и уничтожения не зависят от времени, как и любой другой оператор. В представлении Гейзенберга они должны зависеть от времени, как и любой другой оператор.

Это физически интуитивно. Оператор создания во времени$t$является

$$a^\dagger(t) = e^{- i H t} a^\dagger(0) e^{i H t}$$ что означает, что он создает частицу за раз $t$в прошлом, а не частица прямо сейчас. Например, в гармоническом осцилляторе состояния просто развиваются по фазам, поэтому повышение в более раннее время просто меняет результат, который вы получаете по фазе; вот почему $a^\dagger(t)$это всего лишь фаза раз $a^\dagger(0)$там. В теории взаимодействующего поля, где частица, которую вы создаете, может распадаться или взаимодействовать с другими частицами, $a^\dagger(t)$было бы очень сложной комбинацией операторов создания и уничтожения во времени $t = 0$. Столь драматическая временная зависимость $a^\dagger(t)$физически не удивительно; это означает, что все может случиться.

Есть еще один сбивающий с толку момент: в свободной релятивистской квантовой теории поля операторы рождения и уничтожения в импульсном пространстве просто эволюционируют через фазы. Принято выделять эти фазы в определении квантового поля,

$$\phi(x) = \int \frac{d\mathbf{p}}{(2\pi)^3 \sqrt{2 E_p}} (a_{\mathbf{p}} e^{-ipx} + a_{\mathbf{p}}^\dagger e^{ipx})$$ так что мы получаем коэффициенты $e^{\pm ipx}$, где $px = p^\mu x_\mu$явно лоренц-инвариантна, а операторы рождения и уничтожения здесь просто константы. Это остается верным даже для взаимодействующей теории, потому что обычно мы работаем с картиной взаимодействия, когда все операторы ведут себя так же, как и в свободной теории. Однако я не думаю, что в большинстве книг по нерелятивистской теории поля (т.е. по конденсированной материи) это делается, так что берегитесь!

Во-первых, даже для простого гармонического осциллятора аннулятор и оператор создания зависят от оператора положения, поэтому зависимость от координат не должна быть неожиданностью. Второе квантование применяется к квантовому полю. Конфигурация поля в пространстве-времени — это степень свободы в классической системе, которая превращается в оператор. Этот оператор должен передавать временную и пространственную зависимость конфигурации поля, по крайней мере, на уровне ожидаемого значения. Другими словами, ожидаемое значение поля в данном состоянии дает информацию о вероятности наблюдения данной конфигурации.

Я не понимаю, почему сравнение двух совершенно разных гамильтонианов, одного как бы для свободного поля, а другого для взаимодействующего поля (или поля при наличии какой-то внешней силы) дало бы кажущееся противоречие. Взаимодействие приведет к тому, что система, описанная операторами, получит/потеряет энергию и изменит состояние. Предположительно, если взаимодействие происходит из-за другого поля с соответствующим набором операторов, то в большей системе что-то сохраняется, энергия, топологический заряд и т. д. Таким образом, все, что происходит, это то, что общее состояние изменяется таким образом, что сохраняют законы сохранения, как при классическом столкновении твердых тел.

Что касается представления, похоже, что вы находитесь в представлении импульса или числа занятий, а зависимость от 4 координат не очевидна в k-пространстве. Это является своего рода преимуществом при описании динамики поля, поскольку, пытаясь нарисовать картину, заполняющую все пространство и время, мы просто рисуем представление того же состояния в k-пространстве, что для свободных полей в когерентном состоянии намного проще. . Существует полевая версия x и p. Поскольку оператор p является производной по x, оператор поля p в представлении конфигурации будет некоторым типом производной по отношению к конфигурациям поля (вероятно, вариационной производной). Этот оператор распространяется на все значения координат.

Что касается операторов, зависящих от времени, полная производная оператора по времени равна коммутатору этого оператора с гамильтонианом (который исходит из скобок Яда классической механики) плюс частная производная оператора по времени. Частичные меры «явно» зависят от времени. полная производная системы по времени может быть отличной от нуля даже без явной зависимости от времени из-за неявной зависимости от времени.