Существует ли объемная характеристика топологической нетривиальности трехмерного изолятора со свободными фермионными зонами?

Да, для трехмерных топологических изоляторов существует объемный инвариант, известный как вторая четность Черна.$P_3$[1-3], как интеграл 3-формы Черна-Саймонса (предположительно неабелевой) связности Берри$\mathcal{A}$(в импульсном пространстве) над зоной Бриллюэна (ЗБ). Обратите внимание, что теперь зона Бриллюэна представляет собой трехмерное многообразие (как трехмерный тор).

$$P_3=\frac{1}{16\pi^2}\int_\text{BZ}\mathrm{Tr}(\mathcal{F}\wedge\mathcal{A}-\tfrac{1}{3}\mathcal{A}\wedge\mathcal{A}\wedge\mathcal{A}),$$

где$\mathcal{F}=\mathrm{d}\mathcal{A}+\mathcal{A}\wedge\mathcal{A}$кривизна Берри. Связь Берри$\mathcal{A}$могут быть получены из блоховских волновых функций в занятых зонах. Позволять$|n k\rangle$— блоховская волновая функция электрона в$n$полоса квазиимпульса$k$(здесь$k=(k_x,k_y,k_z)$является трехкомпонентным вектором).$\mathcal{A}$ограничивается подпространством занятых полос, т.е. мы берем только те$n$такова, что одночастичные энергии$\epsilon_{nk}<0$отрицательные.

$$\mathcal{A}_{mn}(k)=-\mathrm{i}\langle mk|\mathrm{d}|nk\rangle,$$

где дифференциальный оператор$\mathrm{d}=\partial_{k_\mu}\mathrm{d}k_\mu$определяется в импульсном пространстве. Было доказано, что$P_3$может быть только целым или полуцелым. Если$P_3=0$(mod 1), то изолятор тривиален. Если$P_3=\tfrac{1}{2}$(mod 1), то изолятор топологический. Фактически,$(-1)^{2P_3}$это$\mathbb{Z}_2$индекс трехмерного топологического изолятора. Существуют и другие эквивалентные выражения для$P_3$которые можно найти в [1-3] и ссылки в них.

В трехмерном пространстве все топологические состояния с защитой фермионной симметрии (SPT) нуждаются в защите симметрии с обращением времени (либо$\mathcal{T}^2=+1$или$\mathcal{T}^2=-1$). Таким образом, не существует топологического нетривиального состояния, которое также может быть киральным. Я думаю, что хиральная спиновая жидкость, которую вы ищете, не существует, но$Z_2$или$U(1)$спиновые жидкости с топологическими спинонными зонными структурами и аномальными бесщелевыми поверхностными модами спинонов действительно существуют и в последнее время много обсуждаются.

[1] https://physics.aps.org/featured-article-pdf/10.1103/PhysRevB.78.195424

[2] http://arxiv.org/pdf/1004.4229.pdf

[3] http://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/PhysRevX.2.031008