Топологическая ленточная структура, отличие сферы от бублика

Извините, этот ответ получился слишком длинным. Я разделил его на три пункта.

(1)

Я думаю, что причина, по которой Комото подчеркивает важность того, что зона Бриллюэна является тором$BZ = T^2$, потому что он хочет сказать, что БЖ компактна и не имеет границ. Это важно из-за тонкости, благодаря которой все работает. Проводимость Холла определяется выражением$\sigma_{xy} = -\frac{e^2}h C_1$(ур. 4.9), где первое число Черна равно (ур. 4.8)

$C_1 = \frac i{2\pi}\int_{BZ} F = \frac i{2\pi}\int_{BZ} dA$.

Однако, наивно используя теорему Стокса $\int_M dA = \int_{\partial M} A$, куда$\partial M$является границей$M$. С$BZ= T^2$и тот факт, что у тора нет границы$\partial T^2$, это, кажется, означает, что$\int_{\partial BZ} A = 0$и поэтому$\sigma_{xy}=0$. Однако здесь есть важная тонкость: наше использование теоремы Стокса корректно только в том случае, если$A$можно построить глобально на всех$BZ$а этого вообще делать нельзя. Нужно разделить$BZ$тор на более мелкие участки и построить$A$локально на каждом патче, который теперь имеет границы (см. рис. 1). Несоответствие между значениями$A$вот на границах заплатки сделаю$\sigma_{xy}$ненулевой (см. уравнение 3.13).

В терминах когомологий де Рама можно сказать, что$F$принадлежит нетривиальному классу вторых когомольгий тора, или, другими словами, уравнению$F = dA$верно только локально, а не глобально. И именно поэтому наше использование теоремы Стокса было неверным.

В этом случае вы можете без проблем заменить тор сферой (почему это требует некоторых аргументов из алгебраической топологии, но я вскоре дам более физическую картину этого). В более высоких измерениях и в других типах топологических изоляторов может быть разница между принятием$BZ$быть тором или сферой. Разница в том, что со сферой вы получаете только то, что люди называют сильными топологическими изоляторами , а со сферой$BZ=T^2$вы также получаете так называемые слабые топологические изоляторы . Разница в том, что слабые топологические изоляторы соответствуют стопкам низкоразмерных систем, и они существуют только при наличии трансляционной симметрии, другими словами, они НЕ устойчивы к примесям и беспорядку. Поэтому люди обычно притворяются$BZ$является сферой, так как сильные топологические изоляторы в любом случае представляют наибольший интерес. Например, таблица для К-теоретической классификации топологических изоляторов, которую обычно показывают (см. таблицу I здесь ), соответствует использованию сферы вместо тора, иначе таблица будет заполнена менее интересными состояниями.

Позвольте мне кратко дать вам некоторое физическое представление о том, что$\sigma_{xy}$измерения, проводя аналогию с электромагнетизмом. В менее дифференциальной геометрической записи можно написать (уравнение 3.9)

$C_1 = \frac i{2\pi}\oint_M \mathbf B\cdot d\mathbf S$,

куда$\mathbf B = \nabla_k\times \mathbf A$можно представить как магнитное поле в k-пространстве. Это не что иное, как магнитная версия закона Гаусса, и он измеряет общий магнитный поток через замкнутую поверхность.$M$. Другими словами, он измеряет общий магнитный заряд, заключенный в поверхности.$M$(см. также здесь ). Брать$M=S^2$, сфера. Если$C_1 = n$отличен от нуля, это означает, что внутри шара находятся магнитные монополи с полным зарядом$n$. В обычном электромагнетизме$C_1$всегда равен нулю, поскольку мы предполагаем, что магнитных монополей нет! В этом состоит содержание закона Гаусса для магнетизма , который в дифференциальной форме имеет вид$\nabla\cdot\mathbf B = 0$. Аналоговое уравнение для нашего k-пространственного «магнитного поля» было бы$\nabla\cdot\mathbf B = \rho_m$, куда$\rho_m$— плотность магнитного заряда (см. здесь ). Если$M=BZ=T^2$интуиция такая же$C_1$- полный магнитный заряд внутри тора.

Другой способ сказать вышесказанное состоит в том, что уравнение$\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$как мы всегда используем и любим, правильно только глобально, если вокруг нет магнитных монополей!

(2)

Теперь позвольте мне обратиться к следующему пункту о теореме Гаусса-Бонне . На самом деле теорема Гаусса-Бонне здесь не играет никакой роли, это просто аналогия. Для двумерного многообразия$M$без границы, теорема говорит, что$\int_M K dA = 2\pi (2-2g)$. Здесь$K$кривизна Гаусса и$g$это род. Например, для тора$g=1$и интеграл равен нулю, как вы также упоминаете. Это не то же самое, что$C_1$Однако. Теорема Гаусса-Бонне касается топологии многообразия (например,$BZ$тор), но$\sigma_{xy}$относится к топологии расслоения над тором, а не к самому тору. Или, другими словами, как блоховские волновые функции ведут себя глобально. Для нас играет роль теория Черна-Вейля , которая в некотором смысле является обобщением теоремы Гаусса-Бонне. Магнитное поле$\mathbf B$или, что то же самое, напряженность поля$F$, является геометрически кривизной так называемого$U(1)$связать$BZ$. Теория Черна-Вейля утверждает, что интеграл по кривизне

$C_1 = \frac i{2\pi}\int_{BZ} F$

является топологическим инвариантом$U(1)$пучок. Это аналогично Гаусс-Бонне, который говорит, что интеграл по кривизне является топологическим инвариантом многообразия. Таким образом, эта связь в основном представляет собой аналогию, которую люди используют, чтобы дать небольшое интуитивное представление о$C_1$, так как легче увидеть кривизну$K$чем кривизна$F$что более абстрактно.

(3)

Комментарий Сяо-Ган Вэня верен, и для его объяснения необходимо углубиться в некоторые глубокие вопросы о том, что такое топологический порядок и что такое топологический изолятор и какова связь между ними. Различие между этими двумя понятиями очень важно, и в литературе встречается много неправильного использования терминологии, когда они смешиваются друг с другом. Короткий ответ заключается в том, что оба понятия связаны с топологией, но топологический порядок — это гораздо более глубокий и богатый класс состояний материи, и топология (и квантовая запутанность) играет здесь гораздо большую роль, чем топологические изоляторы. Другими словами, топологический порядок топологичен в очень сильном смысле, тогда как топологический изолятор топологичен в очень слабом смысле.

Если вам очень интересно, я могу опубликовать еще один ответ с более подробной информацией о комментарии Xiao-Gang Wen, так как этот уже слишком большой.