Как определить ориентацию массивного гамильтониана Дирака?

Простой способ судить о хиральности (или, по вашим словам, «ориентации») гамильтониана состоит в том, чтобы оценить следующую величину

$$f=\frac{i}{2}\mathrm{Tr}\frac{\partial h}{\partial{q_x}}\frac{\partial h}{\partial{q_y}}\frac{\partial h}{\partial{m}}.$$ Знак этой величины $f$дает киральность гамильтониана.

---

Пример: учитывая два гамильтониана$h_1=q_y\sigma_x-q_x\sigma_y-m\sigma_z$и$h_2=-q_y\sigma_x-q_x\sigma_y+m\sigma_z$, мы можем оценить

$$f_1=\frac{i}{2}\mathrm{Tr}(-\sigma_y)\sigma_x(-\sigma_z)=1,$$ $$f_2=\frac{i}{2}\mathrm{Tr}(-\sigma_y)(-\sigma_x)\sigma_z=1.$$ Потому что $f_1$и $f_2$имеют один и тот же знак, поэтому $h_1$и $h_2$имеют одинаковую хиральность.

---

Причина, по которой этот трюк работает, заключается в том, что он в основном оценивает кривизну Берри, которая определяется как

$$F=\frac{i}{2}\mathrm{Tr}\,G^{-1}\mathrm{d}G\wedge G^{-1}\mathrm{d}G\wedge G^{-1}\mathrm{d}G,$$ где $G=(i\omega - h)^{-1}$— одночастичная функция Грина. Тогда число Черна является просто интегралом кривизны Берри, т.е. $C=\frac{1}{2\pi}\int F$. Поскольку кривизна Берри в основном концентрируется вокруг начала импульсно-частотного пространства, нужно просто оценить кривизну Берри в этой точке, чтобы определить знак числа Черна. В то время как в формуле для $F$, $$G^{-1}\mathrm{d}G = (i\omega-h)d(i\omega-h)^{-1}\sim G dh,$$ что дает $\mathrm{d} h$условия. А поскольку гамильтониан зияет, то в пределе нулевого импульса и частоты функция Грина является константой $G\propto \partial_m h$что пропорционально массовому члену. Соединяя все эти части вместе и в ведущем порядке по импульсу и частоте, мы обнаруживаем, что кривизну Берри можно грубо оценить из $F\sim f$. Итак, количество $f$имеет тот же знак, что и число Черна, и может использоваться для определения киральности гамильтониана. Эта оценка точна вокруг точки Дирака, как раз в случае приведенных вами примеров.