Существуют ли точные бета-функции в теориях (супер)гравитации и теории струн?

Я приведу простейший пример бета-функций, возникающих в теории струн, в частности, в теории бозонных струн. Государства трансформируются в$24 \otimes 24$представительство$SO(24)$, что эквивалентно трем неприводимым представлениям; схематично,

$$(\mathrm{traceless \;symmetric} )\otimes (\mathrm{antisymmetric}) \otimes (\mathrm{singlet})$$

Каждому мы связываем безмассовое поле, скалярный дилатон$\Phi(X)$, поле$G_{\mu\nu}(X)$и другое, обычно называемое полем Калба-Рамонда,$B_{\mu\nu}$что можно интерпретировать как обобщение 4-потенциала в электромагнетизме. Обратите внимание, что эти поля «живут» на мировом листе строки. Действие строки на фоне этих полей определяется выражением

$$S = \frac{1}{4\pi \alpha'}\int \! \mathrm{d}^2 \sigma \, \sqrt{|g|} \, \left[ G_{\mu\nu} \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X^\nu g^{\alpha \beta} +i B_{\mu \nu}\partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X^\nu \epsilon^{\alpha \beta} + \alpha' \Phi R^{(2)}\right]$$

Мы можем вычислить бета-функции теории струн стандартным способом, которые задаются формулой$^{\dagger}$,

$$\beta_{\mu\nu}(G) = \alpha'R_{\mu\nu} + 2\alpha'\nabla_\mu\nabla_\nu \Phi - \frac{\alpha'}{4}H_{\mu\lambda \kappa}H^{\lambda \kappa}_\nu$$

$$\beta_{\mu\nu}(B) = -\frac{\alpha'}{2}\nabla^\lambda H_{\lambda\mu\nu} + \alpha' \nabla^\lambda \Phi H_{\lambda \mu \nu}$$

$$\beta(\Phi) = -\frac{\alpha'}{2}\nabla^2 \Phi + \alpha' \nabla_\mu \Phi \nabla^\mu \Phi -\frac{\alpha'}{24}H_{\mu\nu\lambda}H^{\mu\nu\lambda}$$

Чтобы сохранить масштабную инвариантность, мы должны требовать, чтобы все они исчезали. Следовательно, мы можем построить действие, известное как низкоэнергетическое эффективное действие теории бозонных струн, уравнения движения которого эквивалентны бета-функциям, т.е.

$$S=\frac{1}{2\kappa^2_0} \int \! \mathrm{d}^{26}X \, \sqrt{|G|} \, e^{-2\Phi} \, \left( R - \frac{1}{12}H_{\mu\nu\lambda}H^{\mu\nu\lambda} + 4 (\partial_\mu \Phi)^2 \right)$$

Поэтому бета-функции можно рассматривать как уравнения движения. Обратите внимание, что действие принимает удобную форму действия Эйнштейна-Гильберта с 2-формой и скалярным полем, связанным с гравитацией. (Преобразование в систему координат Эйнштейна делает это очевидным.)

---

$\dagger$Бета работает только с одним порядком цикла. Вычисления более высокого порядка приводят к дальнейшим поправкам к уравнениям поля Эйнштейна; в одном порядке петли они согласованы,$\alpha' R_{\mu\nu}=0$. Поле$H$– напряженность поля; в формах,$H = \mathrm{d}B$.

---

Ресурсы:

1. Полный вывод бета-функций см. в примечаниях к лекциям Каллана и Торлациуса по сигма-моделям и теории струн TASI.
2. М-теория и теория струн Беккера, Беккера и Шварца обеспечивают обсуждение решений уравнений движения малоэнергетических эффективных действий, включая черные дыры более высокой размерности.

@Ten Бета-функция NSVZ существует и для теорий с материей. Просто внимательно прочитайте статью в стипендии. Дело в том, что бета-функция NSVZ для калибровочных констант связи зависит от аномальных размеров полей материи.

Очень хороший пример - рассмотреть$\mathcal{N}=4$Теория SYM и запишите ее в виде$\mathcal{N}=1$теории -- тогда спектр состоит из одного$\mathcal{N}=1$векторный мультиплет и три киральных мультиплета. Деформируем суперпотенциал в самый общий кубический суперпотенциал. Ли и Штрасслер используют обращение в нуль бета-функции NSVZ для калибровочной связи, что накладывает дополнительное ограничение, заключающееся в том, что аномальные размерности киральных скаляров должны обращаться в нуль, что приводит к теории, конформной с$\mathcal{N}=1$суперсимметрия. Эта теория обобщает бета-деформацию$\mathcal{N}=4$СИМ. В их статье есть еще много примеров. Еще две статьи Аркани-Хамеда и Мураямы могут служить дополнительными примерами. Бумага 1 и Бумага 2 .

(@Ten Я понимаю, что вам нужны примеры из теории струн/супергравитации, но важно отметить общность бета-функции NSVZ. Поэтому я опубликую свой ответ. Надеюсь, вы не возражаете. Если да, дайте мне знать и Я удалю свой ответ.Конечно, известно, что любая двумерная КТП имеет исчезающую бета-функцию.)