свободная диффузия частиц Функция Грина

Проблема в том, что вы используете собственное состояние позиции в качестве начального состояния. Если вы используете состояние с конечной настраиваемой шириной, вы можете увидеть, что происходит. Примеры, чтобы попробовать:

$$\begin{align} \Psi(\mathbf{x},0) & = \frac{1}{\left(s \sqrt{2\pi}\right)^{d/2}} \operatorname{e}^{-\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^2 }{ 4s^2} + i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}, \ \mathrm{or}\\ & = \prod_{n=1}^d \frac{2 \sin\left(\frac{k_w (x_n-x_0)}{2}\right)}{k_w (x_n-x_0)} \operatorname{e}^{i k_n (x_n- x_0)}\sqrt{\frac{k_w}{2\pi}}, \end{align}$$ где $d$число пространственных измерений. Их версии импульсного пространства (преобразования Фурье): $$\begin{align}\Psi(\mathbf{p},0) & = \left(s\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right)^{d/2}\operatorname{e}^{i \frac{(\hbar \mathbf{k} - \mathbf{p})\cdot\mathbf{x}_0}{\hbar} - \frac{s^2}{\hbar^2} \left(\mathbf{p} - \hbar\mathbf{k}\right)^2},\ \mathrm{and} \\ & = \prod_{n=1}^d \frac{\operatorname{e}^{-ik_n x_0}}{\sqrt{\hbar k_w}} \Theta\left(\frac{p_n}{\hbar} - k_n + \frac{k_w}{2}\right) \Theta\left(k_n + \frac{k_w}{2} - \frac{p_n}{\hbar}\right).\end{align}$$ Обратите внимание, как $\mathbf{x}$-space widths перейти к $0$( $s\rightarrow 0$или $k_w \rightarrow \infty$) $\mathbf{p}$-ширины пространства ведут себя противоположным образом. Итак, причина, по которой вы получаете ненормализуемое и плоское состояние, заключается не только в том, что $\delta$функции не интегрируются с квадратом, но и потому, что волновая функция импульса имеет равные вероятности всех импульсов, включая бесконечность. Поэтому неудивительно, что состояние мгновенно переходит в состояние с равной вероятностью во всех позициях.