Как именно пропагатор является функцией Грина для уравнения Шрёдингера?

Сакураи упоминает (в различных изданиях), что пропагатор является функцией Грина для уравнения Шредингера, потому что он решает

(2.5.12/2.6.12) ( ЧАС − я ℏ ∂ ∂ т ) К ( Икс , т , Икс 0 , т 0 ) знак равно − я ℏ дельта 3 ( Икс − Икс 0 ) дельта ( т − т 0 ) .

Я не вижу этого. Во-первых, я не понимаю, где − я ℏ Термин источник дельты Дирака происходит от.

И если я правильно помню, функция Грина используется для решения неоднородных линейных уравнений, а уравнение Шредингера однородно

( ЧАС − я ℏ ∂ ∂ т ) ψ ( Икс , т ) знак равно 0 ,
т.е. нет принудительного срока. Я понимаю, что пропагатор можно использовать для решения волновой функции из начальных условий (и граничных значений). Разве это не делает его ядром? И что означает личность Сакурая?

Это действительно старый вопрос, но в конечном итоге ответ на вопрос, почему вы используете неоднородную функцию Грина для однородного случая, известен математикам как принцип Дюамеля. Это общий метод для уравнений с частными производными, и в нем та же идея, что и в принципе Гюйгена.
Я не уверен, принцип Дюамеля, похоже, заключается в использовании решения начальной задачи для решения неоднородной задачи, в то время как это прямо противоположная проблема, как решить однородную начальную задачу с фундаментальным решением для неоднородной задачи. . Это, конечно, старый вопрос, но, глядя на некоторые похожие вопросы, я теперь удовлетворен тем, что дополнительные термины появляются только из-за упорядочения по времени, хотя данный ответ здесь не очень хорошо объясняет это.

Ответы (1)

Проверьте мой ответ на связанный вопрос здесь . Обратите внимание, что следующее уравнение, которое дает Сакураи, имеет ключевое значение.

К ( Икс ′ ′ , т ; Икс ′ , т 0 ) знак равно 0  за  т < т 0 .
Это неявно Θ ( т − т 0 ) функция, налагающая порядок времени, о которой я упоминаю. В этом разница между Дираком дельта условия вождения и нет. Это также объясняет коэффициент, о котором вы спрашиваете.
− я ℏ г г т Θ ( т − т 0 ) знак равно − я ℏ дельта ( т − т 0 )
The дельта -функция в пространственных точках исходит из ответа, на который я ссылался.

Спасибо, теперь я вижу немного яснее. Но я до сих пор не понимаю, как и почему эта процедура решает уравнение Шрёдингера. если я напишу
ψ ( Икс ″ , т ″ ) знак равно ∫ г 3 Икс ′ К ( Икс ″ , т ″ ; Икс ′ , т ′ ) ψ ( Икс ′ , т ′ )
и применить оператор Шредингера с обеих сторон, я не получаю ровно ноль, как я предполагал. Я просто не понимаю, почему функцию Грина, которая используется для нахождения неоднородного решения линейного оператора, можно использовать для решения задачи с начальным значением.
Вы не решите это таким образом. Вы получите остаточный член от интегрирования по дельта функции. Чтобы решить уравнение Шредингера, вы не стали бы ставить условие упорядочения по времени. Затем свертка начального состояния ψ ( Икс ′ , т ) с К дает решение в более позднее или более раннее время.
@Kasper Meerts: Вы получаете ровно ноль: правильная область интегрирования находится только в одном интервале времени, так что t' равно 0 в вашем интеграле, а все остальные интегралы неизменны. Это проще всего сделать неинтуитивным, решив SHO с помощью точной функции Грина.
Смотрите это
Как именно пропагатор является функцией Грина для уравнения Шрёдингера?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v