Почему пропагатор является функцией Грина для уравнения Шредингера? [дубликат]

Question

Почему пропагатор является функцией Грина для уравнения Шредингера? [дубликат]

Физика
распространитель
зеленые функции
квантовая механика
уравнение Шредингера
Дирак-дельта-распределения

Уильям Хуанг

Сакураи говорит (в различных изданиях), что пропагатор - это просто функция Грина для зависящего от времени волнового уравнения, удовлетворяющего

\begin{matrix} (2.5.12/2.6.12) & \begin{aligned} [- \frac{ℏ^{2}}{2 м} ▽^{″ 2} + В ({Икс}^{″}) - я час \frac{\partial}{\partial т}] К ({Икс}^{″}, т; {Икс}^{'}, т_{0}) \\ "=" & - я ℏ {дельта}^{3} ({Икс}^{″} - {Икс}^{'}) дельта (т - т_{0}) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}&\left [ -\frac{\hbar^2}{2m} \triangledown ''^2+V(\mathbf{x''})-ih\frac{\partial }{\partial t}\right ]K(\mathbf{x''},t;\mathbf{x'},t_0)\cr =&-i\hbar\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_0)\end{align}\tag{2.5.12/2.6.12}$

с граничным условием

\begin{matrix} (2.5.13/2.6.13) & К ({Икс}^{″}, т; {Икс}^{'}, т_{0}) "=" 0 \end{matrix}

$K(\mathbf{x''},t;\mathbf{x'},t_0)=0\tag{2.5.13/2.6.13}$

для $t<t_0$

Я понятия не имею о том, где $-i\hbar\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_0)$ происходит из , и пропагатор должен быть равен нулю, когда $t<t_0$ .

Любопытный Разум

... и ваш вопрос? Просто вычислите пропагатор и подключите его туда, и вы увидите, что он действительно удовлетворяет уравнению (когда вы берете производные, которые должны правильно давать распределения).

Уильям Хуанг

Я вычислил и подключил пропагатор к уравнению, но в результате получил 0, а не

- i ℏ δ^{3} (x^{″} - x^{'}) δ (t - t_{0})

$-i\hbar\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_0)$ .

Любопытный Разум

Да, это обычная путаница. Знаете ли вы, как

δ

$\delta$ выходит для других функций Грина? То, как фундаментальное решение/функция Грина дает дельту, а не ноль, на самом деле является скорее математическим, чем физическим вопросом.

Уильям Хуанг

Я знаю, что задан линейный дифференциальный оператор

L

$\mathfrak{L}$ , функция Грина

G (x, s)

$G(x,s)$ любое решение

L G (x, s) = δ (x - s)

$\mathfrak{L}G(x,s)=\delta (x-s)$ . Но я до сих пор не знаю связи между пропагатором и функцией Грина.

Qмеханик

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/20797/2451 , physics.stackexchange.com/q/22639/2451 , physics.stackexchange.com/q/65489/2451 и ссылки в них.

Ответы (1)

Почему пропагатор является функцией Грина для уравнения Шредингера? [дубликат]

... и ваш вопрос? Просто вычислите пропагатор и подключите его туда, и вы увидите, что он действительно удовлетворяет уравнению (когда вы берете производные, которые должны правильно давать распределения).
Я вычислил и подключил пропагатор к уравнению, но в результате получил 0, а не $-i\hbar\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_0)$ .
Да, это обычная путаница. Знаете ли вы, как $\delta$ выходит для других функций Грина? То, как фундаментальное решение/функция Грина дает дельту, а не ноль, на самом деле является скорее математическим, чем физическим вопросом.
Я знаю, что задан линейный дифференциальный оператор $\mathfrak{L}$ , функция Грина $G(x,s)$ любое решение $\mathfrak{L}G(x,s)=\delta (x-s)$ . Но я до сих пор не знаю связи между пропагатором и функцией Грина.
Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/20797/2451 , physics.stackexchange.com/q/22639/2451 , physics.stackexchange.com/q/65489/2451 и ссылки в них.

Фробениус · Answer 1

Подсказка: проверьте, удовлетворяет ли этому «модифицированному» уравнению Шредингера «модифицированный» пропагатор.

\begin{matrix} (01) & \tilde{К} ({Икс}^{″}, т; {Икс}^{'}, т_{0}) "=" θ (т - т_{0}) К ({Икс}^{″}, т; {Икс}^{'}, т_{0}) \end{matrix}

$\begin{equation} \widetilde{K}(\mathbf{x''},t \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0})=\theta(t-t_{0})\;K(\mathbf{x''},t;\mathbf{x'},t_0) \tag{01} \end{equation}$ где

θ (t - t_{0})

$\;\theta(t-t_{0})\;$ единичная ступенчатая функция со свойством

\begin{matrix} (02) & \frac{\partial θ (т - т_{0})}{\partial т} "=" \frac{г θ (т - т_{0})}{г т} "=" дельта (т - т_{0}) \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\partial \theta (t-t_{0}) }{\partial t}=\dfrac{d \theta (t-t_{0}) }{d t}=\delta (t-t_{0}) \tag{02} \end{equation}$

Обратите внимание, что

\begin{matrix} (03) & \frac{\partial \tilde{К}}{\partial т} "=" \frac{\partial (θ К)}{\partial т} "=" θ \frac{\partial К}{\partial т} + К \frac{\partial θ}{\partial т} \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\partial \widetilde{K}}{\partial t}=\dfrac{\partial (\theta K) }{\partial t}=\theta\;\dfrac{\partial K}{\partial t}+K\;\dfrac{\partial \theta }{\partial t} \tag{03} \end{equation}$ и^{$\begin{matrix} (04) & К \frac{\partial θ}{\partial т} "=" К ({Икс}^{″}, т; {Икс}^{'}, т_{0}) дельта (т - т_{0}) "=" К ({Икс}^{″}, т_{0}; {Икс}^{'}, т_{0}) дельта (т - т_{0}) "=" {дельта}^{3} ({Икс}^{″} - {Икс}^{'}) дельта (т - т_{0}) \end{matrix}$ $\begin{equation} K\;\dfrac{\partial \theta }{\partial t}=K(\mathbf{x''},t \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0}) \delta (t-t_{0})=K(\mathbf{x''},t_{0} \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0}) \delta (t-t_{0})=\delta^{3}(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_{0}) \tag{04} \end{equation}$}

Но откуда $\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})$ родом из?
@Уильям Хуан $\dfrac{\partial \widetilde{K}}{\partial t}=\dfrac{\partial (\theta K) }{\partial t}=\theta\;\dfrac{\partial K}{\partial t}+K\;\dfrac{\partial \theta }{\partial t}$ $K\;\dfrac{\partial \theta }{\partial t}=K(\mathbf{x''},t \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0}) \delta (t-t_{0})=K(\mathbf{x''},t_{0} \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0}) \delta (t-t_{0})=\delta^{3}(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_{0})$
Так что "немодифицированный" пропагатор доволен $\left [ -\frac{\hbar^2}{2m} \triangledown ''^2+V(\mathbf{x''})-ih\frac{\partial }{\partial t}\right ]K(\mathbf{x''},t;\mathbf{x'},t_0)=0$ ? И «немодифицированный» пропагатор может быть не равен 0, когда $t<t_0$ ?
Да. Смотрите связанные , и проверьте элементарные явные примеры.

Почему пропагатор является функцией Грина для уравнения Шредингера? [дубликат]

Уильям Хуанг

Любопытный Разум

Уильям Хуанг

Любопытный Разум

Уильям Хуанг

Qмеханик

Ответы (1)

Фробениус

Уильям Хуанг

Фробениус

Уильям Хуанг

Космас Захос

Как именно пропагатор является функцией Грина для уравнения Шрёдингера?

Дельта Дирака в определении функции Грина

Пропагатор в квантовом механизме интеграла по пути как функция Грина уравнения Шредингера

Уравнение Шредингера в терминах уравнения Фоккера-Планка

Явное решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы, которое начинается как дельта-функция

Почему волновая функция не равна 0 на пике дельта-потенциала Дирака, но равна 0 на границах бесконечной квадратной ямы?

Потенциальная яма с 2 дельта-потенциалами

свободная диффузия частиц Функция Грина

Волновая функция с дельта-потенциалом

Дельта-функция Дирака как начальное состояние квантово-свободной частицы