Пропагатор в нормальных режимах

Question

Пропагатор в нормальных режимах

Физика
распространитель
нормальные режимы
волновая функция
эволюция времени
квантовая механика

Решад

Я начал с гамильтониана связанных осцилляторов в круговой решетке (с $m=\hbar=1$ и $x_{a+N}=x_{a}$ )

ЧАС "=" \frac{1}{2} \sum_{а "=" 0}^{Н - 1} [п_{а}^{2} + ю^{2} {Икс}_{а}^{2} + {Ом}^{2} ({Икс}_{а} - а_{а + 1})]

$H=\frac{1}{2}\sum_{a=0}^{N-1}\left[p_a^2+\omega^2 x_a^2+\Omega^2\left(x_a-a_{a+1}\right)\right]$ Затем я использовал обычные режимы

{\tilde{Икс}}_{к} \equiv \frac{1}{\sqrt{Н}} \sum_{а "=" 0}^{Н - 1} опыт (- \frac{2 π я к}{Н} а) {Икс}_{а} {\tilde{п}}_{к} \equiv \frac{1}{\sqrt{Н}} \sum_{а "=" 0}^{Н - 1} опыт (\frac{2 π я к}{Н} а) п_{к}

$\tilde{x}_k\equiv\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{a=0}^{N-1}\exp\left(-\frac{2\pi i k}{N}a\right)x_a\quad \tilde{p}_k\equiv\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{a=0}^{N-1}\exp\left(\frac{2\pi ik}{N}a\right)p_k$ чтобы «развязать» осцилляторы:

ЧАС "=" \frac{1}{2} \sum_{к "=" 0}^{Н - 1} (| \tilde{п_{к}} |^{2} + {\tilde{ю_{к}}}^{2} | \tilde{{Икс}_{к}} |^{2})

$H=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}\left(|\tilde{p_k}|^2+\tilde{\omega_k}^2 |\tilde{x_k}|^2 \right)$ где

{\tilde{ю}}_{к} "=" ю^{2} + 4 {Ом}^{2} {грех}^{2} (\frac{π к}{Н})

$\tilde{\omega}_k=\omega^2+4\Omega^2\sin^2\left(\frac{\pi k}{N}\right)$ В терминах нормальных мод волновая функция имеет вид

ψ_{0} (\tilde{{Икс}_{0}}, \tilde{{Икс}_{1}}, . .) "=" \prod_{к "=" 0}^{Н - 1} {(\frac{{\tilde{ю}}_{к}}{π})}^{\frac{1}{4}} опыт (- \frac{1}{2} {\tilde{ю}}_{к} | {\tilde{Икс}}_{к} |^{2})

$\psi_0\left(\tilde{x_0},\tilde{x_1},..\right)=\prod_{k=0}^{N-1}\left(\frac{\tilde{\omega}_k}{\pi}\right)^\frac{1}{4}\exp\left(-\frac{1}{2}\tilde{\omega}_k|\tilde{x}_k|^2\right)$ Теперь я хочу развить это состояние во времени, используя произведение распространителей свободных осцилляторов. Если

{\tilde{x}}_{k}

$\tilde{x}_k$ были реальными, то я бы продолжил работу с пропагатором, как

К ({\tilde{Икс}}_{0}, {\tilde{Икс}}_{1}, . .; {\tilde{Икс}}_{0}^{'}, {\tilde{Икс}}_{1}^{'}; т) "=" \prod_{к "=" 0}^{Н - 1} \sqrt{\frac{{\tilde{ю}}_{к}}{2 π я грех ({\tilde{ю}}_{к} т)}} опыт [\frac{я {\tilde{ю}}_{к}}{2 грех ({\tilde{ю}}_{к} т)} {({\tilde{{Икс}_{к}}}^{2} + {\tilde{{Икс}_{к}}}^{' 2}) потому что ({\tilde{ю}}_{к} т) - 2 {\tilde{Икс}}_{к} {\tilde{Икс}}_{к}^{'}}]

$K\left(\tilde{x}_0,\tilde{x}_1,..;\tilde{x}'_0,\tilde{x}'_1;t\right)=\prod_{k=0}^{N-1}\sqrt{\frac{\tilde{\omega}_k}{2\pi i \sin\left(\tilde{\omega}_k t\right)}}\exp\left[\frac{i\tilde{\omega}_k}{2 \sin\left(\tilde{\omega}_kt\right)}\{\left(\tilde{x_k}^2+\tilde{x_k}'^2\right)\cos\left(\tilde{\omega}_kt\right)-2\tilde{x}_k\tilde{x}'_k\}\right]$ И я бы развил государство

ψ_{0}

$\psi_0$ как

ψ_{1} (\tilde{{Икс}_{0}}, \tilde{{Икс}_{1}}, . .; т) "=" \int г {\tilde{Икс}}_{0}^{'} г {\tilde{Икс}}_{1}^{'} . . К ({\tilde{Икс}}_{0}, {\tilde{Икс}}_{1}, . .; {\tilde{Икс}}_{0}^{'}, {\tilde{Икс}}_{1}^{'} . . .; т) ψ_{0} (\tilde{{Икс}_{0}}, \tilde{{Икс}_{1}}, . .)

$\psi_1 \left(\tilde{x_0},\tilde{x_1},..;t\right) =\int d\tilde{x}'_0 d\tilde{x}'_1.. K\left(\tilde{x}_0,\tilde{x}_1,..;\tilde{x}'_0,\tilde{x}'_1...;t\right) \psi_0\left(\tilde{x_0},\tilde{x_1},..\right)$ Как я могу найти распространителя, зная, что

{\tilde{x}}_{k}

$\tilde{x}_k$ не реально, а затем найти время развилось состояние?

Ответы (1)

Пропагатор в нормальных режимах

Даниэль · Answer 1

Это вопрос о замене переменных. В принципе, вы знаете, как вычислить последний интеграл в терминах одного набора переменных, $x_a$ . Однако было бы проще оценить его с точки зрения $\tilde{x}_k$ .

Исходный интеграл закончился $x_a \in \mathbb{R}^N$ , поэтому вам нужно выяснить соответствующую область (комплекса) $\tilde{x}_k$ -космос. Пригодится свойство преобразования Фурье: $x_a$ реальны тогда и только тогда, когда $\tilde{x}_{-k} = \tilde{x}_{k}^*$ . Таким образом, мы можем интегрировать по всей комплексной плоскости только для неотрицательных значений $k$ . `

Нам также необходимо включить якобиан преобразования. Дискретное преобразование Фурье унитарно с выбранной вами нормализацией, поэтому якобиан просто $1$ .

Пропагатор в нормальных режимах

Решад

Ответы (1)

Даниэль

Как понимать амплитуду перехода в копенгагенской интерпретации

Кто занимается нормализацией волновой функции во временной эволюции волновой функции?

Почему tr e−ihH^t=∫dnr⟨r|e−ihH^t|r⟩tr e−ihH^t=∫dnr⟨r|e−ihH^t|r⟩tr \ e^{-\frac {i}{h}\hat{H}t}= \int d^nr \left< \textbf{r}| e^{-\frac{i}{h}\hat{H}t} | \textbf{r} \right> держать?

свободная диффузия частиц Функция Грина

Может ли шанс найти частицу со временем уменьшиться?

Эволюция состояния во времени

«Пульсируют» ли атомные орбитали во времени?

Что развивается со временем?

Является ли это доказательством водонепроницаемости Гриффита? [дубликат]

Квантовый пропагатор как амплитуда перехода