Слишком много теорем Вика!

Различные комментарии к посту (v3):

1. Можно предположить, что кажущиеся неупорядоченными операторы на практике всегда упорядочены относительно. какой -то порядок.

2. -

3. Пока поля$\phi_i=\phi_i^{(+)}+\phi_i^{(-)}$линейны в операторах создания и уничтожения, это не должно быть проблемой.

4. -

5. Теорема Иссерлиса связана с формулировкой интеграла по траекториям теоремы Вика, ср. например , этот пост Phys.SE.

6. -

7. -

Самым важным обобщением операторной формулировки теоремы Вика (по сравнению с моим ответом Phys.SE ) является рассмотрение сокращений, которые не принадлежат центру алгебры. Это часто используется в CFT, см., например, Ref. 1.

Использованная литература:

1. Дж. Фукс, Аффинные алгебры Ли и квантовые группы, (1992); экв. (3.1.35).

Я хотел расширить теорему Вика с точки зрения 5. Это с точки зрения евклидовых интегралов свободного пути. Я думаю, что эта перспектива очень поучительна, но некоторые ее аспекты не подчеркиваются в литературе. Обсуждение становится более простым, если думать о конечномерном аналоге. Здесь мы принимаем наше пространство полей за конечномерное пространство$V=\mathbb{R}^n$. Мы можем положить на это пространство линейные координаты$\{\phi^i|i\in\{1,\dots,n\}\}$. Чтобы прояснить физическую интуицию, следует подумать об индексе$i$как положение в дискретном пространстве-времени с$n$точки.

В этом случае свободная теория определяется (ненормализованной) корреляционной функцией, полученной с помощью гауссовского интеграла по путям, который в данном случае является просто конечномерным интегралом. Наблюдаемые определяются полиномиальными функциями$F(\phi)$а корреляционные функции имеют вид

$$\langle F(\phi)\rangle=\int\text{d}^n\phi\, e^{-\frac{1}{2}\phi^iA_{ij}\phi^j}F(\phi),$$ для симметричного и положительно определенного$A_{ij}$.

Теорема Вика в версии 5 может быть легко доказана после обсуждения на https://arxiv.org/abs/1202.1554 . Это получается, если заметить, что интеграл от полной производной обращается в нуль, поскольку экспонента затухает на границе из-за положительной определенности$A_{ij}$. Действительно, по правилу произведения

$$0=\int\text{d}^n\phi\,\frac{\partial}{\partial\phi^i}\left(e^{-\frac{1}{2}\phi^iA_{jk}\phi^j}\phi^{r_1}\cdots\phi{r_s}\right)=-A_{ij}\langle\phi^j\phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle+\sum_{t=1}^s\delta^{r_l}_i\langle \phi^{r_1}\cdots\widehat{\phi^{r_l}}\cdots\phi^{r_s}\rangle,$$ где$\widehat{\phi^{r_l}}$означает, что мы пропускаем этот термин. Обозначая$A^{ij}$обратная матрица$A^{ij}A_{jk}=\delta^i_k$, мы можем решить это уравнение $$\langle \phi^i\phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle=\sum_{t=1}^sA^{ir_l}\langle \phi^{r_1}\cdots\widehat{\phi^{r_l}}\cdots\phi^{r_s}\rangle.$$ Это теорема Вика! В нем говорится, что для вычисления корреляционной функции нам просто нужно рассмотреть все возможные сокращения$\phi^i$со всеми остальными терминами, каждое сокращение убирает пропагатор$A^{ir_l}=\langle \phi^i\phi^{r_l}\rangle$. Тогда простая индукция показывает, что $$\langle \phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle=\sum_{P\in\text{Pair}(s)}\prod_{\{a,b\}\in P}\langle\phi^a\phi^b\rangle$$

Теперь другие теоремы Вика могут быть получены из этой следующим образом. Во-первых, нам нужно определить понятие нормального порядка в этой настройке. Это определение является сугубо физическим. Позволять$F(\phi)$быть мономом в$\phi$нравиться$F(\phi)=\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}$. Определим нормальный порядок$:F(\phi):$быть полиномом таким, что все соотношения$\langle:F(\phi):G(\phi)\rangle$для многочлена$G(\phi)$получается при рассмотрении всех сокращений Вика, вносящих вклад в$\langle F(\phi)G(\phi)\rangle$за исключением тех, у которых сокращения двух полей внутри монома$F(\phi)$.

Из этого определения не ясно, существует ли такой полином, а если и существует, то является ли он единственным. Единственность должна быть некоторым следствием теоремы о том, что многочлен полностью определяется моментами. В любом случае для доказательства существования можно привести явную конструкцию. Уникальность более-менее понятна из него.

Для нормального упорядочения билинейного монома конструкция ясна из теоремы Вика

$$\langle \phi^i\phi^j\phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle=\langle\phi^i\phi^j\rangle\langle \phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle+\sum_{t=1}^s\langle\phi^i\phi^{r_l}\rangle\langle \phi^j\phi^{r_1}\cdots\widehat{\phi^{r_l}}\cdots\phi^{r_s}\rangle.$$ Корреляция $$\langle:\phi^i\phi^j:\phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle$$ должно состоять только из последнего члена. Тогда понятно, что делать, определять $$:\phi^i\phi^j:=\phi^i\phi^j-\langle\phi^i\phi^j\rangle.$$ Можно повторить это для мономов более высокого порядка, но я не буду делать этого здесь, так как вычисления немного усложняются.

В общем, имеем теорему Вика

$$:\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}:=\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}-\sum_{\{a,b\}}\langle\phi^{i_a}\phi^{i_b}\rangle:\phi^{i_1}\cdots\widehat{\phi^{i_a}}\cdots\widehat{\phi^{i_b}}\cdots\phi^{i_u}:-\sum_{\{a,b\},\{c,d\}}\langle\phi^{i_a}\phi^{i_b}\rangle\langle\phi^{i_c}\phi^{i_d}\rangle:\phi^{i_1}\cdots\widehat{\phi^{i_a}}\cdots\widehat{\phi^{i_b}}\cdots\widehat{\phi^{i_c}}\cdots\widehat{\phi^{i_d}}\cdots\phi^{i_u}:-\cdots$$ где первая сумма по 1-сжатиям, второй член по 2-сверткам и так далее. Хотя комбинаторика доказательства может немного запутаться, общая картина довольно проста. Условия формы$\langle\phi^{i_a}\phi^{i_b}\rangle:\phi^{i_1}\cdots\widehat{\phi^{i_a}}\cdots\widehat{\phi^{i_b}}\cdots\phi^{i_u}:$в первую сумму входят те, которые аннулируют все вклады в корреляционные функции, содержащие одно сокращение Вика в пределах$\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}$. Аналогично, члены формы$\langle\phi^{i_a}\phi^{i_b}\rangle\langle\phi^{i_c}\phi^{i_d}\rangle:\phi^{i_1}\cdots\widehat{\phi^{i_a}}\cdots\widehat{\phi^{i_b}}\cdots\widehat{\phi^{i_c}}\cdots\widehat{\phi^{i_d}}\cdots\phi^{i_u}:$отменить корреляционные функции, содержащие только два сокращения Вика в пределах$\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}$. Это форма теоремы Вика, появившаяся в версии 4. Она дает явную индуктивную формулу для нормального упорядочения.

Теперь позвольте мне прокомментировать версию 3. В нашей настройке мы определили нормальное упорядочение через его поведение в корреляционных функциях. Они вычисляются с помощью интегралов по траекториям, которые автоматически упорядочиваются по времени. Это означает, что в операторном формализме им соответствуют матричные элементы упорядоченного по времени оператора$\mathcal{T}\hat{\phi}^{i_1}\cdots\hat{\phi}^{i_u}$. Таким образом, версия 4 теоремы Вика соответствует версии 3, причем первая относится к формализму интеграла по путям, а вторая - к формализму оператора.

Чтобы перейти от версии 4 к версии 5, нужно просто отметить, что ⟨:𝐹(𝜙):⟩=0. Действительно, чтобы получить ненулевой ответ, нужно добавить хотя бы моном степени, равной степени 𝐹(𝜙). Только тогда начнутся сокращения, которые не соединяют никакие два элемента в 𝐹(𝜙). Между прочим, это также проясняет связь с оператором создания/уничтожения, поскольку нормальное упорядочение там точно уничтожает значения вакуумного ожидания, помещая операторы уничтожения справа. Точнее, можно видеть, что нормальный порядок рождения/уничтожения для произведения двух полей (линейных по операторам рождения и уничтожения) также задается выражением

$$:\phi^i\phi^j:=\mathcal{T}\phi^i\phi^j-\langle\phi^i\phi^j\rangle.$$ Это нормальное упорядочение также удовлетворяет соотношению рекурсии, налагаемому теоремой Вика для получения нормального упорядочения мономов более высокого порядка в полях. Мы заключаем, что оба нормальных порядка совпадают на билинейках и удовлетворяют одному и тому же рекуррентному соотношению. Тогда они должны всегда совпадать.

ОРЕ также можно понять с этой точки зрения формализма интеграла по путям. Однако основная идея бесплатного кейса заключается в следующем. Чтобы вычислить операторное произведение группы операторов, мы хотели бы выразить их как серию четко определенных операторов в одной точке пространства-времени, взвешенных коэффициентами, зависящими от позиций исходных операторов, которые могут расходиться, поскольку эти позиции сближаются. Быть хорошо определенным просто означает, что все его корреляционные функции с другими удаленными операторами сходятся. Это проще всего сделать, написав произведение операторов с помощью теоремы Вика. Это связано с тем, что расходящиеся части появляются внутри корреляционных функций и, таким образом, являются числовыми коэффициентами. Все остальные операторы появляются внутри нормального порядка и, таким образом, будучи вставленными в корреляционные функции, никогда не сокращаются друг с другом. Таким образом, при вычислении корреляционных функций с удаленными операторами расходимости не возникает.

Обсуждение выше поясняется примером. Рассмотрите расширение продукта оператора$\phi(0)\phi(x)$в свободной скалярной теории поля. Можно попытаться написать эту серию операторов в$0$Тейлор расширяет

$$\phi(0)\phi(x)=\phi(0)^2+x\phi(0)\partial\phi(0)+\frac{1}{2}x^2\phi(0)\partial^2\phi(0)+\cdots.$$ Однако в этом ряду все операторы определены некорректно. Например, $$\langle\phi(0)^2\phi(x)\phi(y)\rangle=\langle\phi(0)^2\rangle\langle\phi(x)\phi(y)\rangle+2\langle\phi(0)\phi(x)\rangle\langle\phi(0)\phi(y)\rangle$$ и этот член расходится, даже когда$x$и$y$находятся далеко друг от друга и$0$. С другой стороны, мы можем расширить Тейлора после использования теоремы Вика $$\phi(0)\phi(x)=:\phi(0)\phi(x):+\langle{\phi(0)\phi(x)}\rangle=\langle{\phi(0)\phi(x)}\rangle+:\phi(0)^2:+x:\phi(0)\partial\phi(0):+\frac{1}{2}x^2:\phi(0)\partial^2\phi(0):+\cdots.$$ Именно в форме ОПЕ. Первый член представляет собой числовую функцию, которая расходится как$x\rightarrow 0$умножается на хорошо определенный оператор, тождественный оператор. Остальные термины также являются хорошо определенными операторами. Например сейчас $$\langle:\phi(0)^2:\phi(x)\phi(y)\rangle=2\langle\phi(0)\phi(x)\rangle\langle\phi(0)\phi(y)\rangle,$$ который хорошо определен, пока$x$,$y$, и$0$находятся отдельно друг от друга. В частности, мы видим, что расходящаяся часть ОРЕ равна $$\phi(0)\phi(x)\sim\langle{\phi(0)\phi(x)}\rangle,$$ который широко используется в теории свободного поля.

Эта процедура может быть расширена на случай взаимодействия с использованием теории возмущений. Для определенности поясню это, используя$\phi^4$теория. В теории возмущений имеем

$$\langle\phi(0)\phi(x)\cdots\rangle=\int\mathcal{D}\phi e^{-\frac{1}{2\hbar}\int\text{d}^D y\phi(-\Delta)\phi+\frac{\lambda}{4!\hbar}\int\text{d}^Dy\phi^4}\phi(0)\phi(x)\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{\lambda^n}{4!^n\hbar^n}\int\text{d}^Dy_1\cdots\text{d}^Dy_n\int\mathcal{D}\phi e^{-\frac{1}{2\hbar}\int\text{d}^D y\phi(-\Delta)\phi}\phi(0)\phi(x)\phi(y_1)^4\cdots\phi(y_n)^4\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{\lambda^n}{4!^n\hbar^n}\int\text{d}^Dy_1\cdots\text{d}^Dy_n\langle\phi(0)\phi(x)\phi(y_1)^4\cdots\phi(y_n)^4\cdots\rangle_G$$ Индекс$G$указывает на то, что последняя корреляция берется в свободной теории. Соответственно, мы можем применить теорему Вика к каждому из этих терминов в отдельности.

Для$n=0$срок, у нас есть вклад в расширение продукта оператора

$$\langle\phi(0)\phi(x)\cdots\rangle_G=\langle:\phi(0)\phi(x):\cdots\rangle_G+\langle\phi(0)\phi(x)\rangle\langle\cdots\rangle_G$$ Для первого члена мы можем сделать разложение Тейлора вокруг$x=0$, точно так же, как мы сделали на бесплатном случае. Это дает$\lambda^0$вклад в ООП. С точки зрения$\hbar$, первый член вносит вклад по порядку$\hbar^0$а второй под заказ$\hbar$. Только второй имеет расходящиеся члены как$x\rightarrow 0$. Более того, мы можем использовать диаграммы Фейнмана, чтобы отслеживать их. Как мы видим, в этих диаграммах все внешние ветви автоматически нормально упорядочены, так что понятно, что в полных корреляционных функциях они не должны сжиматься друг с другом. В частности, мы можем разложить в ряд Тейлора, когда эти ветви близки к 0.

Теперь рассмотрим разложение по теореме Вика порядка$\lambda$срок

$$\frac{\lambda}{4!\hbar}\int\text{d}^Dy\langle\phi(0)\phi(x)\phi(y)^4\cdots\rangle_G$$ . Первый член не имеет сокращений $$\frac{\lambda}{4!\hbar}\int\text{d}^Dy\langle:\phi(0)\phi(x)\phi(y)^4:\cdots\rangle_G.$$ Мы можем представить это с помощью следующей диаграммы Фейнмана . Как и прежде, все внешние ветви нормально упорядочены. Мы также видим, что внешние ноги, выходящие из вершины, не несут пропагаторов. Эта вершина вносит вклад порядка$\hbar^{-1}$и не имеет расхождений, как$x\rightarrow 0$.

Есть 4 термина, происходящих от 1 сокращения, которые представлены диаграммами Фейнмана . Все они вносят свой вклад по порядку.$\hbar^0$и только первый расходится как$x\rightarrow 0$. Однако это расхождение некоторым образом уже улавливается из члена порядка$\lambda^0$. На самом деле, мы можем суммировать все члены с этим расхождением

$$\langle\phi(0)\phi(x)\rangle_G\langle:e^{\frac{\lambda}{4!\hbar}\int\text{d}^Dy\phi^4}:\cdots\rangle_G$$

Термины с двумя сокращениями относятся к категории Все они вносят свой вклад по порядку.$\hbar$и только первый (возможно) расходится как$x\rightarrow 0$(ну, второй тоже расходится, но термины такого типа мы уже обсуждали выше). Этот термин действительно интересен и подробно рассмотрен на https://pirsa.org/18030064 . Показано, что она расходится в$D=4$, и действительно, его дивергенция имеет вид

$$\frac{\lambda}{2\hbar}\int\text{d}^Dy\langle\phi(0)\phi(y)\rangle_G\langle\phi(x)\phi(y)\rangle_G:\phi(0)^2:,$$ при разгибании внешних ножек вокруг$0$.

Наконец, у нас есть термины с 3 сокращениями , все они вносят свой вклад по порядку .$\hbar^2$но только второй имеет новое расхождение. Это расхождение умножает тождественный оператор.

Таким образом, для ОРЕ в случае взаимодействия мы подводим итоги по диаграммам вышеприведенного типа. Несвязные диаграммы также не имеют расходимостей, т.к.$x\rightarrow 0$(если нет пути, соединяющего$\phi(0)$и$\phi(x)$вершины), либо их расходимости появляются уже в связной диаграмме низшего порядка теории возмущений. В качестве последнего комментария отметим, что все эти диаграммы также страдают расходимостью петель, которые необходимо перенормировать, как обычно в пертурбативной квантовой теории поля.

Я дам ответ, чтобы объяснить, почему в физике конденсированного состояния или физике многих тел слишком много теорем Вика.

На самом деле важность теоремы Вика тесно связана с вычислением функции Грина. Методы функции Грина в физике конденсированного состояния или в физике многих тел обычно основаны на разложении рассматриваемой функции Грина (обычно содержит члены четвертой степени в гамильтониане) в бесконечный ряд высших функций Грина для невзаимодействующей разрешимой системы и последующее сжатие в произведения одночастичной функции Грина. Это разложение значительно упрощается за счет использования наводящих на размышления диаграммных представлений. Строгая основа этой процедуры известна как теорема Вика.

• Первая встреча

Мы впервые встречаемся с теоремой Вика, чтобы сформулировать разложение возмущений многих тел для функции Грина при нулевой температуре, в которой проблема может быть описана гамильтонианом:

$$H=H_0+H_i$$ куда $H_i$представляет собой сложное многочастичное взаимодействие.

• Вторая встреча

Мы снова встретимся с теоремой Вика, когда выполним многочастичное разложение конечной температурной функции Грина, в котором задача также может быть описана гамильтонианом$H=H_0+H_i$. Большая разница по сравнению с функцией Грина при нулевой температуре состоит в том, что система больше не находится в основном состоянии, а не в смешанном состоянии по матрице плотности.

$$\rho = \dfrac{e^{-\beta H}}{Tr[e^{-\beta H}]}.$$ Можно видеть, что равновесная матрица плотности многих тел также содержит взаимодействия многих тел. Чтобы сформулировать одновременное расширение как для матрицы плотности, так и для оператора временной эволюции: $$U(t)=e^{-i H t/\hbar}$$ Стратегия Мацубары: заменить $\tau=it$и лечить $\tau$как действительное число. В результате этой замены становится возможным разложение многочастичных возмущений.

• Третья встреча

Формализм Келдыша: подходящий для исследования неравновесной задачи многих тел. (Здесь теорема Вика очень похожа на теорему о нулевой температуре.)

• $\cdots \cdots$

Следующие ссылки являются рекомендуемой литературой для доказательства теоремы Вика и обсуждения взаимосвязей между различными версиями теоремы Вика.

1. Теорема Вика для общих начальных состояний ;

2. Равновесная и неравновесная многочастичная теория возмущений ;