Связи Эйнштейна-Янга-Миллса

Я играю с соединением классического С U ( 2 ) Теория Янга-Миллса к уравнениям Эйнштейна.

Предполагая сферическую симметрию, С U ( 2 ) связь можно написать

(1) А "=" ю ( р ) т 1 г θ + ю ( р ) грех ⁡ θ т 2 г θ + потому что ⁡ θ т 3 г ф ,
где т я являются генераторами с ты ( 2 ) алгебра.

Статическая сферически-симметричная метрика имеет вид

(2) г с 2 "=" − Т − 2 ( р ) г т 2 + Б − 1 ( р ) г р 2 + р 2 г θ 2 + р 2 грех 2 ⁡ θ г ф 2 .

Уравнения Янга-Миллса

(3) Д ⋆ Ф "=" 0 ,
вместе с личностью Бьянки
(4) Д Ф "=" 0.

Четко, Д содержит обычную калибровочно-ковариантную внешнюю производную

(5) Д Ф "=" г Ф + [ А ∧ Ф ]
с уважением к С U ( 2 ) связь.

Вот где возникает мой вопрос: поскольку поле Янга-Миллса живет в искривленном пространстве-времени, не должна ли калибровочно-ковариантная внешняя производная включать дополнительные члены, описывающие обычную ковариантную производную поля Ф относительно связи Леви-Чивиты на пространственно-временном многообразии?

Калибровочная теория — это главное расслоение над некоторым гладким многообразием, в частности, оно не зависит от римановой структуры (связности, метрики и т. д.) на базовом многообразии, поэтому никакая кривизна пространства-времени не меняет связность или ковариантную производную в вашем Калибровочная теория.
Вы также можете заметить, что в общем случае ковариантная производная полностью фиксируется связностью главного расслоения.
Независимо от вышесказанного да, связь с фоном в вашем лагранжиане приведет к зависимости от римановой метрики в динамической части уравнений Ян-Миллса, а именно, первое уравнение Ян-Миллса, вероятно, больше не будет выглядеть так. Тем не менее, ковариантная производная не изменится.
@bechira Я думаю, что разница будет заключаться в том, что калибровочная ковариантная производная будет содержать член спиновой связи в дополнение к основному связному соединению.
@bechira Спасибо за ваши комментарии. Я немного неточно сформулировал свой вопрос, когда говорил о необходимости модифицировать калибровочно-ковариантную производную. Очевидно, что структура базового многообразия не повлияет на калибровочно-ковариантную производную на расслоении над этим многообразием. Я согласен, что уравнения поля Янга-Миллса будут изменены. Я буду работать над их выводом из лагранжиана.

Ответы (2)

ОП рассматривает теорию Янга-Миллса над искривленным базовым пространством. ( М , г ) . Если базовое космическое соединение является соединением Леви-Чивиты ∇ л С "=" ∂ + Г , то не имеет значения, используется ли калибровочно-ковариантная производная Д "=" ∂ + А или полная ковариантная производная ∇ "=" Д + Г начиная с символов Кристоффеля Г выпадает из теории Янга-Миллса и уравнений ОП. (3), (4) и (5). В основном это связано с отсутствием кручения соединения Леви-Чивиты. ∇ л С .

Связность Леви-Чивита проявляется только тогда, когда некоторая величина ковариантна относительно локальных преобразований Лоренца. Но если все инвариантно относительно локальных преобразований Лоренца, то связь Леви-Чивиты не имеет значения. Метрическое и YM-поля (которые представляют интерес в теории Янга-Миллса в искривленном пространстве-времени) инвариантны, в то время как кривизна Римана ковариантна (что представляет интерес для общей теории относительности). Вот почему символ Кристоффеля выпадает из теории Янга-Миллса и уравнений ОП. (3), (4) и (5). Этот факт не имеет ничего общего с условием отсутствия кручения соединения Леви-Чивиты, как предполагает другой ответ . Это верно даже в условиях ненулевого кручения.

Примечание: идентичность Бьянки одинакова независимо от плоского или искривленного пространства-времени, поскольку метрика не отображается в идентичности Бьянки. С другой стороны, двойственный по Ходже ⋆ в уравнении Янга-Миллса зависит от метрики.

Связи Эйнштейна-Янга-Миллса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v