Течение Нётера, когда лагранжиан зависит от второй производной полей

Пусть лагранжева плотность для теории поля$N$поля$\left\{\phi_i\right\}_{i=1}^N$быть данным.

Предположим, что плотность лагранжиана зависит от полей, их производных по пространству-времени и их вторых производных по пространству-времени:$\mathcal{L}(\phi_i,\partial_\mu\phi_i,\partial_\nu\partial_\mu\phi_i)$.

Затем краткий вывод показывает, что уравнения Эйлера-Лагранжа задаются следующим образом:

$$\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\phi_{i}}-\partial_{\mu}\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\partial_{\mu}\phi_{i}}+\partial_{\nu}\partial_{\mu}\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi_{i}}=0 \,\,\, \forall i\in \{1,\dots,N\}$$

Используя вывод, аналогичный доказательству теоремы Нётер, я смог показать, что сохраняющийся ток Нётер равен:

$$j^\mu = \sum_{i}\left[\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\partial_{\mu}\phi_{i}}\Delta\phi_{i}+\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi_{i}}\partial_{\nu}\Delta\phi_{i}-\left(\partial_{\nu}\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi_{i}}\right)\Delta\phi_{i}\right]$$

Мой вопрос: это правильно?

Мне это кажется подозрительным, потому что есть термин$\partial_{\nu}\Delta\phi_{i}$и я как-то ожидал, что все условия будут пропорциональны$\Delta\phi_{i}$один.

Я делаю это, чтобы найти сохраняющийся ток Нётера (см. этот связанный вопрос и этот, на который, к сожалению, еще нет ответов ) преобразования BRST.