Температура Дебая для меди

Здесь происходит несколько вещей. Во-первых, вы, кажется, смешиваете единицы плотности и молярной массы, используя кг в одном случае и г в другом. Если вы это исправите, вы правильно получите числовую плотность порядка$10^{28}$. Тем не менее, вы все равно не найдете хорошего согласия с$~345K$значение, которое вы ожидаете. Почему это?

Ну, есть вторая и более тонкая вещь, которая заключается в том, что вы используете единую скорость звука. В действительности скорость звука различна в (одном) продольном и (двух) поперечном направлениях. Если вместо этого вы используете среднюю скорость, рассчитанную с помощью

$$\bar{v}_s = 3^\frac{1}{3}\left( \frac{1}{v^3_{\mathrm{transverse}}}+\frac{2}{v^3_{\mathrm{longitudinal}}}\right)^{-\frac{1}{3}}$$ вы станете намного ближе к экспериментальному значению. Вы заметите, что это не обычная средняя скорость, а просто константа, определяемая при выводе температуры Дебая.

Третье, о чем стоит упомянуть, это то, что скорость звука будет зависеть от того, как был сделан ваш образец меди. Значение$v_s=3800$м/с — продольная скорость звука в тонких медных стержнях, тогда как$v_s=4600$м/с – это (довольно низкое) значение для сыпучего материала.

Отличный пост. И спасибо Anyon за разъяснения. Я опубликую полное ясное решение этой проблемы со ссылками и номерами, и при этом я исправлю небольшую ошибку, которую сделал Anyon.

Во-первых, что касается плотности и молярной массы меди, у меня есть

$$\rho = 8960 \text{ kg/m}^{3}$$ и $$M_a = 63.546 \text{ u}$$ который я взял из википедии https://en.m.wikipedia.org/wiki/Copper

Это дает мне плотность

$$\begin{align} {N \over V} & = \frac{1000 \cdot N_A \cdot \rho}{M_a} \\ & = \frac{1000\cdot6.023\times10^{28}\cdot8960}{63.546} \\ & = 8.49\times10^{28} \text{ atom per m}^3 \end{align}$$

Теперь, как сказал Анион, у нас есть 2 поперечные и 1 продольная звуковые волны со скоростями

$$v_{\mathrm{transverse}} = 2325 \text{ m/s}$$ и $$v_{\mathrm{longitudinal}} = 4760 \text{ m/s}$$ который я взял с https://www.engineeringtoolbox.com/amp/sound-speed-solids-d_713.html

Теперь, применяя формулу для$\theta_D$, следует брать "среднюю" скорость звука. Вот где Anyon сделал небольшую ошибку. Так как у нас 2 поперечные и 1 продольная то средняя скорость получается по формуле

$$\bar{v}_s = 3^\frac{1}{3}\left( \frac{2}{v^3_{\mathrm{transverse}}}+\frac{1}{v^3_{\mathrm{longitudinal}}}\right)^{-\frac{1}{3}}$$

Подставив числа, получим

$$\begin{align} \bar{v}_s & = 3^\frac{1}{3}\left( \frac{2}{2325^3}+\frac{1}{4760^3}\right)^{-\frac{1}{3}} \\ & = 2611.69 \text{ m/s} \end{align}$$ Теперь по формуле $$\theta_D = \frac{\hbar v_s}{k_B} \left( \frac{6\pi^2N}{V} \right)^{1/3}$$ И подставив имеющиеся у нас цифры, получим $$\begin{align} \theta_D & = \frac{1.055\times10^{-34}\cdot2611.69}{1.38\times10^{-23}}\left(6\pi^2\cdot8.49\times10^{28}\right)^{1/3} \\ & = 342 \text{ K} \end{align}$$

Что находится в пределах ожидаемого значения 343 К.