Тензор энергии-импульса для полей Дирака и его зависимость от связности

В тензоре энергии-импульса (SET) для свободных скалярных и векторных полей любые ссылки на связь$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$в кинетических условиях либо отсутствуют ($\nabla_\mu \phi = \partial_\mu \phi$) или компенсировать друг друга ($F_{\mu\nu} = \nabla_\mu A_\nu - \nabla_\nu A_\mu = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$). Это имеет смысл для меня в том, что не нужно знать производные метрики / фильбейна, чтобы вычислить источник уравнений поля Эйнштейна (EFE) в точке. Начиная с симметризованного лагранжиана для поля Дирака,

$$\mathcal L = \frac{i}{2}\bar\psi \gamma^\mu \partial_\mu \psi - \frac i2 \bar\psi \overset{\leftarrow}\partial_\mu \gamma^\mu \psi - m \bar\psi\psi,$$

и превращая частные производные в ковариантные производные, я получаю следующую форму для SET:

$$T^{\mu\nu}_{\text{Dirac}} = \frac{i}{2} \bar\psi ( \gamma^\mu \overset\rightarrow\nabla^\nu + \gamma^\nu \overset\rightarrow\nabla^\mu ) \psi - \frac{i}{2} \bar\psi ( \overset\leftarrow\nabla^\nu \gamma^\mu + \overset\leftarrow\nabla^\mu \gamma^\nu ) \psi - g^{\mu\nu} \mathcal L_{\text{Dirac}}$$

В этом выражении для МНОЖЕСТВА свободного поля Дирака я, кажется, не могу получить термины спиновой связи ($\nabla_\mu \psi - \partial_\mu \psi$) в ковариантных производных сокращаться, поэтому этот тензор явно зависит от производных$e^a_\mu$. Действительно ли эти члены спиновой связи компенсируют друг друга и сводят ковариантные производные к обычным частным производным?

Если нет, то разве это не проблема при подключении к уравнениям поля Эйнштейна? Поскольку поля Дирака также подчиняются уравнению Клейна-Гордона, можем ли мы записать лагранжиан, подобный Клейну-Гордону (отбрасывая информацию о спине), и использовать его для вычисления SET, не зависящего от связи?